mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 05, 2012 3:37 pm**

Ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου ABC

εφάπτεται των πλευρών BC,CA,AB

στα σημεία D,E,F

αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με
$\Gamma ,\Gamma _1,\Gamma _2,\Gamma _3$ τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων ABC,AEF,BDF,CDE

αντίστοιχα.
Οι κύκλοι $\Gamma,\Gamma _1$ τέμνονται στα σημεία

και

, οι κύκλοι $\Gamma,\Gamma _2$ στα B,Q

και οι κύκλοι $\Gamma,\Gamma _3$ στα C,R

Να δείξετε ότι οι κύκλοι $\Gamma _1,\Gamma _2,\Gamma _3$ τέμνονται σε ένα κοίνο σημείο.
(b)

Να δείξετε ότι οι ευθείες PD,QE,RF

συντρέχουν.

Φιλικά,
Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 05, 2012 9:57 pm**

Το ερώτημα α) προκύπτει άμεσα από θεώρημα Miquel,συντρέχουν στο έκκεντρο

.
Για το ερώτημα β) κάνουμε αντιστροφή ως προς τον εγγεγραμένο κύκλο. Έστω ότι κάθε σημείο

απεκονίζεται στο

.
Οι κύκλοι $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ απεκονίζονται στις ευθείες EF, DF, DE

, τα σημεία A,B,C

στα μέσα των EF, DF, DE

και ο κύκλος $\Gamma$ στο κύκλο Euler του DE F

.
Άρα το

απεκονίζεται στο

προβολή του

στην

,αντίστοιχα για τα Q,R

. Αρκεί να δείξω ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των DIP'

,

,

συντρέχουν σε σημείο διάφορο του

.
Tο

ορθόκεντρο του DE F

,έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους 3 κύκλους άρα οι κύκλοι είναι ομοαξονικοί (έχουν κοινό ριζικό άξονα) και συντρέχουν σε σημείο διάφορο του

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 05, 2012 10:26 pm**

Η συγκεκριμένη σειρά γραμμάτων αναγνωρίζεται ως κάτι άλλο, εντολή ίσως, την έχω πατήσει και εγώ και φαντάζομαι πολλοί άλλοι.

Alex1994 έγραψε:Το ερώτημα α) προκύπτει άμεσα από θεώρημα Miquel,συντρέχουν στο έκκεντρο
Για το ερώτημα β) κάνουμε αντιστροφή ως προς τον εγγεγραμένο κύκλο. Έστω ότι κάθε σημείο απεκονίζεται στο .
Οι κύκλοι $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ απεκονίζονται στις ευθείες , τα σημεία στα μέσα των και ο κύκλος $\Gamma$ στο κύκλο Euler του DEF(για κάποιο λόγo δεν μπορεί να μου το διαβάσει σε ...)
Άρα το απεκονίζεται στο προβολή του στην ,αντίστοιχα για τα . Αρκεί να δείξω ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των ,, συντρέχουν σε σημείο διάφορο του .
Tο ορθόκεντρο του DEF,έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους 3 κύκλους άρα οι κύκλοι είναι ομοαξονικοί(έχουν κοινό ριζικό άξονα) και συντρέχουν σε σημείο διάφορο του

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 06, 2012 1:10 am**

Επειδή η λύση του εξαιρετικού Αλέξανδρου είναι αρκετά τηλεγραφική, επειδή η άσκηση είναι καταπληκτική, καθώς και επειδή είχα κάνει την σχετική προεργασία πριν κάποιες ώρες, θεωρώ σκόπιμο να δοθεί το σχήμα και επεξηγήσεις επί των πεπραγμένων.[attachment=0]Nickthegreek.jpg[/attachment]Λήμμα : Γενικώς σε τρίγωνο ABC

τα ίχνη των υψών είναι V_1 , V_2 & V_3

αντίστοιχα και

είναι το περίκεντρο. Τότε οι κύκλοι οι περιγεγραμμένοι των τριγώνων $\displaystyle{AO{V_1}{\text{ }}{\text{, }}AO{V_2}{\text{ \& }}AO{V_3}}$ συντρέχουν σε σημείο (Μένει ως άσκηση).

Λόγω των εγγράψιμμων τετραπλεύρων $\displaystyle{AFIE{\text{ }}{\text{, }}BDIF{\text{ \& }}CEID}$ οι κύκλοι $\displaystyle{{\Gamma _1}{\text{ }}{\text{, }}{\Gamma _2}{\text{ \& }}{\Gamma _3}}$ συντρέχουν στο έκκεντρο

.
Αντιστρέφουμε τα πάντα με πόλο το έκκεντρο

και λόγο $\displaystyle{\lambda = {\rho ^2}}$ , τότε οι κύκλοι $\displaystyle{{\Gamma _1}{\text{ }}{\text{, }}{\Gamma _2}{\text{ \& }}{\Gamma _3}}$ αντιστρέφονται στις ευθείες $\displaystyle{FE{\text{ }}{\text{, }}DF{\text{ \& }}ED}$ αντίστοιχα διότι διέρχονται απ τον πόλο

και τα σημεία $\displaystyle{F{\text{ }}{\text{, }}D{\text{ \& }}E}$ μένουν αμετάβλητα.
Επίσης τα σημεία $\displaystyle{{\rm A}{\text{ }}{\text{, }}{\rm B}{\text{ \& }}C}$ αντιστρέφονται στα $\displaystyle{{M_1}{\text{ }}{\text{, }}{M_2}{\text{ \& }}{M_3}}$ που είναι μέσα των $\displaystyle{FE{\text{ }}{\text{, }}DF{\text{ \& }}ED}$ . Τα σημεία $\displaystyle{P{\text{ }}{\text{, }}Q{\text{ \& }}R}$ αντιστρέφονται στα $\displaystyle{P'{\text{ }}{\text{, }}Q'{\text{ \& }}R'}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{\Gamma }$ αντιστρέφεται σε κύκλο που διέρχεται από τα μέσα $\displaystyle{{M_1}{\text{ }}{\text{, }}{M_2}{\text{ \& }}{M_3}}$ , επομένως στον κύκλο Euler του τριγώνου $\displaystyle{{\text{FED}}}$ και επειδή αυτός διέρχεται κι από τα $\displaystyle{P'{\text{ }}{\text{, }}Q'{\text{ \& }}R'}$ , έπεται ότι τα $\displaystyle{P'{\text{ }}{\text{, }}Q'{\text{ \& }}R'}$ είναι τα ίχνη των υψών του τριγώνου $\displaystyle{{\text{FED}}}$ . Οι ευθείες $\displaystyle{PD{\text{ }}{\text{, }}QE{\text{ \& }}RF}$ αντιστρέφονται στους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων $\displaystyle{P'ID{\text{ }}{\text{, }}Q'IE{\text{ \& }}R'IF}$ .
Το σημείο

είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{{\text{FED}}}$ και σύμφωνα με το λήμμα οι παραπάνω κύκλοι συντρέχουν σε σημείο που το «αντιστρόφως» αντίστροφό του είναι το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι $\displaystyle{PD{\text{ }}{\text{, }}QE{\text{ \& }}RF}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 06, 2012 12:57 pm**

Αφού ευχαριστήσω τον κύριο Σεραφείμ, τον κύριο Ανδρέα καθώς και τον φίλο μου Αλέξανδρο για τις υπέροχες παρεμβάσεις τους επί του θέματος, ας δώσω για λόγους πλουραλισμού και μια δική μου σκέψη για το 2ο ερώτημα:

Θα δείξουμε αρχικά ότι το QEDP

εγγράψιμο. Πράγματι, ισχύει $\angle QDE=\angle QDF+\angle FDE= \angle QDF+ \frac{180^{\circ} -a}{2}$
Λόγω των εγγραψίμων QBDF,BQPA

έχουμε $\angle QDF=\angle QBF= 180^{\circ}-\angle QPA=180^{\circ}-\angle QPE-\angle APE$
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\angle FDE=\angle APE= \frac{180 ^{\circ}-a}{2}$ ,που είναι προφανές.
Όμοια προκύπτουν τα εγγράψιμα QFER,PFDR

.
Tώρα παρατηρούμε ότι οι ευθείες PD,QE,RF

αποτελούν τους ριζικούς άξονες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριών αυτών εγγραψίμων τετραπλεύρων. Άρα συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων, και το ζητούμενο έπεται.

Φιλικά,
Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2019 10:04 am**

Για το ερώτημα (α) μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι $\angle FEP=\angle FAP=BAP,\angle FED=\angle BFD=BQD$

Επομένως οι γωνίες

και

του τετραπλεύρου DEPQ

μεταφέρονται στις απέναντι γωνίες του εγγεγραμμένου APQB

και έτσι είναι παραπληρωματικές.

mathematica.gr

Άλλη μια γεωμετρία!

Άλλη μια γεωμετρία!

Re: Άλλη μια γεωμετρία!

Re: Άλλη μια γεωμετρία!

Re: Άλλη μια γεωμετρία!

Re: Άλλη μια γεωμετρία!

Re: Άλλη μια γεωμετρία!