mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 25, 2009 3:28 am**

Μία άσκηση όπου το ζητούμενο την κάνει πιο δύσκολη αλλά η γενίκευση πιο εύκολη

Έστω f συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο [0,1]. Αν 0 < f΄(t) =< 1 και f(0)=0 να δείξετε ότι $\displaystyle{ \displaystyle \left(\int^{1}_{0}f(t).dt\right)^{2}\ge\int^{1}_{0}\left(f(t)\right)^{3}dt }$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 25, 2009 2:40 pm**

για κοίταξε εδώ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 25, 2009 3:03 pm**

Χεχεχ βρήκες την γενίκευση. Στην γενίκευση για χ=1 και τέλος΄

Μχμχμ δεν είχα δει ότι την είχα ποστάρει ξανά...θα την λύσω και διαφορετικά
Επι της ευκαιρίας bye bye joulia, γεια σου Φωτεινή

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 25, 2009 3:12 pm**

mathxl έγραψε: Επι της ευκαιρίας bye bye joulia, γεια σου Φωτεινή

η joulia έφυγε , η Φωτεινή ήρθε

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 25, 2009 8:18 pm**

Η ωραία λύση που έχω δει
$\displaystyle{ f^{\prime}(x)\le 1. }$
$\displaystyle{ f(x)f^{\prime}(x)\le f(x) }$
$\displaystyle{ \int_{0}^{x}f(t)f^{\prime}(t)\,dt\le\int_{0}^{x}f(t)\,dt }$
$\displaystyle{ \frac{1}2f(x)^{2}\le\int_{0}^{x}f(t)\,dt }$
$\displaystyle{ f(x)^{3}\le 2f(x)\int_{0}^{x}f(t)\,dt. }$
$\displaystyle{ f(x)^{3}\le\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{2} }$
και με ολοκλήρωση επειδή η τιμή στο 0 είναι 0 παίρνουμε σταθερά ολοκλήρωσης 0, άρα $\displaystyle{ \int_{0}^{x}f(t)^{3}\,dt\le\left(\int_{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{2} }$
για χ=1 το ζητούμενο

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 12, 2009 11:42 pm**

Μία γενίκευση που βρήκα στο ίντερνετ

mathematica.gr

Καλή άσκηση

Καλή άσκηση

Re: Καλή άσκηση

Re: Καλή άσκηση

Re: Καλή άσκηση

Re: Καλή άσκηση

Re: Καλή άσκηση