mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 26, 2009 1:21 pm**

Με αφορμη το χθεσινο προβλημα του σπασμενου ρολογιου, ιδου ενα δικο μου (?) που παει δεκα χρονια πισω, οταν το χρησιμοποιησα για εισαγωγη στην στροφη (στο επι της συμμετριας βιβλιο μου, ISOMETRICA (1.3.1)):

Στρεφουμε ενα ρολογι που δειχνει 9:40 κατα 130 μοιρες και κατα την φορα των δεικτων του -- να δειχθει οτι η ωρα που δειχνει υστερα απο αυτην την στροφη ειναι 2:01:49.

[Προφανως δεν υπαρχει τιποτα το μαγικο γυρω απο τις παραπανω ωρες και γωνιες. Μπορει κανεις να δημιουργησει απειρια τετοιων προβληματων, ακομη και αντιστροφων (οπου εχουμε τις δυο ωρες και ζητουμε την γωνια στροφης). Ισως υπαρχει εδαφος και για καποιο αρθρο, αν τυχον ενδιαφερεται καποιος (και αν κατι αναλογο δεν εχει ηδη συζητηθει στην βιβλιογραφια): *πως* παρουσιαζουμε τετοια προβληματα, σε ποιο επιπεδο, και με ποιους στοχους? Στο βιβλιο μου *δεν* παραθετω την λυση του προβληματος, μια και αποτελει παραδειγμα για κατι αλλο, και, κακως ισως, δεν με ενδιεφερε (ουτε και με ενδιαφερει τωρα) σαν αντικειμενο μελετης.]

Γιωργος Μπαλογλου

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 26, 2011 9:04 am**

Σε μία ώρα ο ωροδείκτης διαγράφει τόξο $30^{o}$ , συνεπώς σε 40 min

, θα διαγράψει $20^{o}$

Επομένως στις 9.40

, ο μεν ωροδείκτης θα βρίσκεται $70^{o}$ πριν τις $12(\Delta)$ , ο δε λεπτοδείκτης προφανώς $120^{o}$

Στρέφοντας , κατά τη φορά των δεικτών , κατά $130^{o}$ , ο ωροδείκτης θα βρεθεί στη θέση OB'

(ακριβώς

)

και ο λεπτοδείκτης στη θέση OA'

, δηλαδή

μετά το "ακριβώς"

Αλλά αυτή η κατάσταση δεν αντιστοιχεί σε πραγματική ώρα ... Μήπως κάτι δεν "πιάνω" καλώς ;

Γιώργο , θα ήθελες να δώσεις κάποιες διευκρινήσεις , έστω και μετά από (ακριβώς ) 2 χρόνια ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 27, 2011 2:27 am**

Αγαπητέ KARKAR είδα το μήνυμα σου πριν λίγη ώρα -- μου διέφυγε το απόγευμα και το βρήκα μέσω 'προβολής των δημοσιεύσεων μου' που κάνω τακτικά -- και νομίζω πως έχεις δίκαιο!

(Δεν ξέρω πως ακριβώς είδα το θέμα πριν 13 χρόνια, τώρα όμως μου είναι φανερό ότι η οποιαδήποτε δοθείσα γωνία ανάμεσα σε λεπτοδείκτη και ωροδείκτη οφείλει να εμφανίζεται ακριβώς 12 φορές, άρα υπάρχουν συγκεκριμένες γωνίες που επιτρέπουν την στροφή από υπαρκτή ώρα σε υπαρκτή ώρα, κλπ κλπ -- ίσως επανέλθω επί του θέματος, αλλά, και πάλι, δέχομαι την ένσταση σου και σ' ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση.)

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 22, 2017 2:21 pm**

gbaloglou έγραψε:Αγαπητέ KARKAR είδα το μήνυμα σου πριν λίγη ώρα -- μου διέφυγε το απόγευμα και το βρήκα μέσω 'προβολής των δημοσιεύσεων μου' που κάνω τακτικά -- και νομίζω πως έχεις δίκαιο!

(Δεν ξέρω πως ακριβώς είδα το θέμα πριν 13 χρόνια, τώρα όμως μου είναι φανερό ότι η οποιαδήποτε δοθείσα γωνία ανάμεσα σε λεπτοδείκτη και ωροδείκτη οφείλει να εμφανίζεται ακριβώς 12 φορές, άρα υπάρχουν συγκεκριμένες γωνίες που επιτρέπουν την στροφή από υπαρκτή ώρα σε υπαρκτή ώρα, κλπ κλπ -- ίσως επανέλθω επί του θέματος, αλλά, και πάλι, δέχομαι την ένσταση σου και σ' ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση.)

Με αφορμή την πρόσφατη αναγγελία για την αυτοέκδοση του βιβλίου μου ... έκανα μία αναζήτηση στο

για "isometrica" ... και βρήκα την παραπάνω συζήτηση και ανεπαρκή απάντηση μου: ανεπαρκής διότι, ενώ αυτά που γράφω παραπάνω είναι σωστά (και θα αναλυθούν περισσότερο σε λίγες μέρες αν δεν επιθυμεί κάποιος άλλος να ασχοληθεί), δεν υπερασπίστηκα όσο θα μπορούσα τα γραφόμενα στις υποενότητες 1.3.1 & 1.3.2 του βιβλίου μου^ πράγματι, ενώ σωστά παρατηρεί ο Θανάσης ότι η στροφή κατά 130^0

(όπως αρχικά γράφω στην 1.3.1, αλλά και στην αρχή της παρούσας συζήτησης) δεν αντιστοιχεί σε πραγματική ώρα, ουσιαστικά διορθώνω το λάθος λίγο παρακάτω γράφοντας (στην 1.3.2) για "about 130^0

" και "approximately 130^0

" (ΠΕΡΙΠΟΥ 130^0

) ΚΑΙ δίνοντας την σωστή γωνία ( $1440/11^0\approx130,909^0$ ) ΕΜΜΕΣΑ, μέσω της σωστής ώρας που δίνω (στην 1.3.1, αλλά και στην αρχή της παρούσας συζήτησης), συγκεκριμένα 2:01:49

(περίπου)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 25, 2017 12:13 pm**

gbaloglou έγραψε:Αγαπητέ KARKAR είδα το μήνυμα σου πριν λίγη ώρα -- μου διέφυγε το απόγευμα και το βρήκα μέσω 'προβολής των δημοσιεύσεων μου' που κάνω τακτικά -- και νομίζω πως έχεις δίκαιο!

(Δεν ξέρω πως ακριβώς είδα το θέμα πριν 13 χρόνια, τώρα όμως μου είναι φανερό ότι η οποιαδήποτε δοθείσα γωνία ανάμεσα σε λεπτοδείκτη και ωροδείκτη οφείλει να εμφανίζεται ακριβώς 12 φορές, άρα υπάρχουν συγκεκριμένες γωνίες που επιτρέπουν την στροφή από υπαρκτή ώρα σε υπαρκτή ώρα, κλπ κλπ -- ίσως επανέλθω επί του θέματος, αλλά, και πάλι, δέχομαι την ένσταση σου και σ' ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση.)

... Ας γίνει 19 το 13 (κατανοητό) και ... 11 το 12:

Θεωρούμε τυχούσα ένδειξη/ώρα του ρολογιού στην θέση

ώρες και

λεπτά, όπου

ακέραιος με $0\leq h\leq 11$ και

πραγματικός με $0\leq m<60$ . (Δεν ασχολούμαστε κατ' αρχήν με δευτερόλεπτα και δευτερολεπτοδείκτη, μας φτάνουν τα βάσανα που δημιουργούν ωροδείκτης και λεπτοδείκτης

) Ποιες μη μηδενικές γωνίες στροφής $\phi$ του ρολογιού περί το κέντρο του μας οδηγούν σε υπαρκτή ένδειξη/ώρα του ρολογιού (και σε θέση

ώρες και

λεπτά);

Η αναπάντεχη ίσως απάντηση -- που δεν είμαι σίγουρος αν είχα συνειδητοποιήσει όταν έγραφα το πρώτο κεφάλαιο του ISOMETRICA τον Ιούλιο του 1998 -- είναι ότι υπάρχουν ακριβώς δέκα τέτοιες γωνίες, ανεξάρτητες από τα ζεύγη (h, m)

και

, και αυτές είναι οι γωνίες

$\phi=\displaystyle\frac{360n}{11}^0$ , n=1, ..., 10

.

Πράγματι, αν

,

και

,

είναι οι γωνίες του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη με την κατακόρυφο στις θέσεις (h, m)

και

, προκύπτουν με απλές σχέσεις αναλογίας (Μέθοδος των Τριών) οι ισότητες

$x=\displaystyle\frac{60h+m}{2}$ , $x'=\displaystyle\frac{60h'+m'}{2}$ , y=6m

,

,

και από αυτές, μέσω της $x'-x=y'-y=\phi$ , το σύστημα

$60(h'-h)+(m'-m)=2\phi$

$6(m'-m)=\phi$ .

Η επίλυση του παραπάνω συστήματος δίνει $h'-h=\displaystyle\frac{11\phi}{360}$ και $\phi=\displaystyle\frac{360(h'-h)}{11}$ , όπου h'-h

ακέραιος με $1\leq h'-h\leq 10$ . (Εύλογα υποθέσαμε h'>h

.)

Θέτοντας τώρα h'-h=n

λαμβάνουμε τις δέκα (υπόλοιπες) υπαρκτές θέσεις/ώρες που είναι 'γεωμετρικά ισοδύναμες' (μέσω στροφής) προς την αρχική θέση/ώρα (h, m)

, και αυτές είναι οι

h'=h+n

, $m'=m+\displaystyle\frac{60n}{11}$ , n=1, ..., 10

.

(Στο παράδειγμα της ενότητας 1.3 του ISOMETRICA που άρχισε αυτήν την συζήτηση -- ευχαριστώ και πάλι τον KARKAR για την αρχική του παρατήρηση! -- και με αρχική ώρα την 9:40:00

, λαμβάνουμε (στρογγυλοποιώντας στα δευτερόλεπτα, περνώντας στην επόμενη ώρα όταν τα λεπτά ξεπεράσουν τα εξήντα, κλπ) τις δέκα (υπόλοιπες) ώρες 10:45:27