mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 6:58 am**

Καλημέρα. Τελικά μαζεύτηκαν πολλά. Δεν πειράζει σιγά σιγά. Όποιος θέλει ας προσθέσει και άλλα. Πιστεύω θα δημιουργηθεί ένα χρήσιμο αρχείο για μαθητές και καθηγητές.

Δώστε παραδείγματα (αν υπάρχουν) (τύπος και γραφική παράσταση)

1)Μιας μονότονης συνάρτησης.

2) Αντίστροφων συναρτήσεων που τα σημεία τομής τους βρίσκονται εκτός της y=x.

3)Συνάρτησης 1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονης.

4)Συνάρτησης 1-1 σε διάστημα Α και σε διάστημα Β αλλά όχι στην ένωση τους.

5)Συνάρτησης που είναι γνησίως μονότονη σε διάστημα Α και γνησίως μονότονη σε διάστημα Β με το ίδιο είδος μονοτονίας αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη στην ένωση τους.

6) Συνάρτησης που το μεγαλύτερο τοπικό ακρότατο δεν είναι ολικό

7) Συνάρτησης που δεν υπάρχει το πλευρικό όριο σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της.

8) Συνάρτησης που διακόπτεται η γραφική της παράσταση αλλά είναι συνεχής

9) Συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού $\left(a,b \right)\cup{}\left(b,d \right)$

10) Συνάρτησης που δεν ορίζεται περιοχή του $x_{0}$

11)Συνάρτησης που δεν ισχύει το αντίστροφο του Θ. Bolzano

12)Συνάρτησης που δεν ισχύει το αντίστροφο του Θ.Ε.Τ

13) Συνάρτησης που το ολικό μέγιστο ισούται με το ολικό ελάχιστο.

14) Συνάρτησης για την οποία ισχύει $A\leq f\left(x \right)\leq B$ για κάθε x του πεδίου ορισμού της αλλά τα A,B

δεν είναι ακρότατα.

15)Συνεχούς συνάρτησης που ορίζεται σε κλειστό διάστημα [α,β] αλλά τα α,β δεν αποτελούν θέσεις ακροτάτων.

16) Συνάρτησης που η γραφική της παράσταση έχει περισσότερα από ένα κοινά σημεία με την εφαπτομένη της σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της.

17) Συνάρτησης που δεν ισχύει το αντίστροφο του Fermat.

18) Παραγωγίσιμης συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ και έστω $x_{0}$ σημείο του Δ που είναι θέση τοπικού ακροτάτου και η συνάρτηση δεν αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του σημείου αυτού.

18α) Συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ, όπου το εσωτερικό σημείο x_{0} είναι θέση τοπικού ακροτάτου αλλά η συνάρτηση δεν αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του σημείου αυτού.

19) Συνάρτησης που αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν ενός σημείου $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της αλλά το $f\left(x_{0} \right)$ δεν είναι τοπικό ακρότατο.

20)Συνάρτησης που δεν αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν ενός σημείου $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της στο οποίο δεν είναι συνεχής αλλά το $f\left(x_{0} \right)$ είναι τοπικό ακρότατο.

21) Συνάρτησης που αλλάζει κυρτότητα σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της και δεν ορίζεται η εφαπτομένη στο σημείο $\left(x_{0},f\left(x_{0} \right) \right)$ .

22) Συνάρτησης που αλλάζει κυρτότητα σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της και ορίζεται κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο $\left(x_{0},f\left(x_{0} \right) \right)$ .

23) Συνάρτησης που η γραφική της παράσταση της έχει σημεία πάνω σε κάποια ασυμπτωτή της.

24) Συνεχούς συνάρτησης που η γραφική της παράσταση της τέμνει την πλάγια ή την οριζόντια ασύμπτωτη της σε ένα ή περισσότερα σημεία.

25) Συνάρτησης που δεν ισχύει το θεώρημα de l'hospital

Προστέθηκαν.......

26. (Από apotin) Συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0}$ του πεδίου ορισμού της, δεν αλλάζει το είδος της μονοτονίας εκατέρωθεν του $\displaystyle{x_0}$ και στο $\displaystyle{x_0}$ :
α) δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο
β) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο
γ) παρουσιάζει ολικό ακρότατο

27. (Από apotin) Αν f'(x_0)>0

τότε δε συμβαίνει απαραίτητα η

γνήσια αύξουσα σε περιοχή του x_0

.

28. Μιας συνάρτησης ορισμένης στο $\left(\alpha ,\beta \right)$ για την οποία υπάρχει $\xi \epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ με $f'\left(\xi \right)=0$ αλλά είναι $f\left(\alpha \right)\neq f\left(\beta \right)$

29. Μιας συνάρτησης ορισμένης στο $\left(\alpha ,\beta \right)$ , παραγωγίσιμης στο $\left(\alpha ,\beta \right)$ με $f\left(\alpha \right)=f\left(\beta \right)$ για την οποία δεν υπάρχει $\xi \epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ ώστε $f'\left(\xi \right)=0$

30. Μιας συνάρτησης για την οποία δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Mέσης τιμής (Θ.Μ.Τ)

31. Δύο συναρτήσεων για τις οποίες υπάρχει το όριο του αθροίσματος (ή του γινομένου ή του πηλίκου) σε ένα σημείο $x_{0}$ , χωρίς να υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων στο $x_{0}$ .

32.Μιας συνεχούς συνάρτησης που δεν έχει τοπικά ακρότατα και δεν είναι γνησίως μονότονη

33. Ασυνεχών συναρτήσεων σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της, αλλά το άθροισμα τους να είναι συνεχής συνάρτηση στο $x_{0}$

34. Δύο συναρτήσεων που το α) γινόμενο τους ( ή β) το πηλίκο τους) να μην είναι συνεχής συνάρτηση στο $x_{0}$ αλλά η μία να είναι συνεχής στο $x_{0}$ ενώ η άλλη όχι.

35. Συνάρτησης για την οποία ισχύει $lim_{x\rightarrow x_{0}}\left|f\left(x \right) \right|=\left|\lambda \right|$ αλλά το όριο της συνάρτησης στο $x_{0}$ δεν υπάρχει ή υπάρχει και είναι $lim_{x\rightarrow x_{0}}\neq \lambda$ .

36. Συνάρτησης που είναι ασυνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της αλλά η απόλυτη τιμή της να είναι συνεχής συνάρτηση.

37. Δύο συναρτήσεων που έχουν τον ίδιο τύπο και δεν είναι ίσες.

38. Δύο συναρτήσεων που έχουν τον ίδιο τύπο ενώ δεν είναι συγχρόνως 1-1.

39. Δύο συναρτήσεων f,g

ορισμένες στο Α για τις οποίες ισχύει $f\left(x \right)\cdot g\left(x \right)=0$ αλλά δεν προκύπτει το συμπέρασμα για κάθε $x\varepsilon A$ , $f\left(x \right)=0$ ή $x\varepsilon A$ , $f\left(x \right)=0$

40. Συνάρτησης που δεν είναι γνησίως μονότονη αλλά είναι αντιστρέψιμη.

41. (Από perpant) Συνάρτησης με πρώτη και δεύτερη παράγωγο μηδέν σε ένα σημείο $\displaystyle{x_o }$ , στο οποίο σημείο όμως δεν παρουσιάζει ούτε ακρότατο, ούτε σημείο καμπής.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 1:22 pm**

Πολύ καλή σκέψη

ξεκινάω από το τελευταίο

25. Nα υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^2 \eta \mu \frac{1}{x}}}{{\eta \mu x}} }$

Αν και είναι απροσδιόριστη μορφή το $\displaystyle{ \frac{{\left( {x^2 \eta \mu \frac{1}{x}} \right)^\prime }}{{\left( {\eta \mu x} \right)^\prime }} = \frac{{2x\eta \mu \frac{1}{x} - \sigma \upsilon \nu \frac{1}{x}}}{{\sigma \upsilon \nu x}} }$ δεν έχει όριο στο μηδέν.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 2:25 pm**

25.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

με τύπο $f\left(x \right)=\frac{x^{2}\eta \mu \left(\frac{1}{x} \right)}{\eta \mu x}$

: 25.JPG (12.94 KiB) Προβλήθηκε 5175 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 8:59 pm**

10. Η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \sqrt {x^4 - 4x^2 } }$ ορίζεται στο σύνολο $\displaystyle{ A = ( - \infty , - 2] \cup \{ 0\} \cup [2, + \infty ) }$ , δηλαδή δεν ορίζεται σε περιοχή κοντά στο $\displaystyle{ x_o = 0 }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 9:19 pm**

τα πρώτα 6 Θα ακολουθήσουν και άλλα

: Clipboard04.png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 5130 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 11:19 pm**

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:10. Η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \sqrt {x^4 - 4x^2 } }$ ορίζεται στο σύνολο $\displaystyle{ A = ( - \infty , - 2] \cup \{ 0\} \cup [2, + \infty ) }$ , δηλαδή δεν ορίζεται σε περιοχή κοντά στο $\displaystyle{ x_o = 0 }$

10.

: 10.JPG (9.11 KiB) Προβλήθηκε 5094 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 11:42 pm**

τα 6 δευτερα 7-12

: Clipboard02.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 5077 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2012 12:42 am**

15. Προφανώς τη θέλουμε και συνεχή στα άκρα του διαστήματος να υποθέσω...

Στο διάστημα $[a,+\infty )$
$\displaystyle{f(x) = \left \lbrace \begin{matrix} \sin{\frac{1}{x-a}}, # x > a \\ 0 #, x=a \end{matrix}}\right.$

και γραφική παράσταση εδώ :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% ... 8x-1%29%29

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2012 1:08 am**

23-24. $f(x)=e^{\frac{sinx}{x}}$ με την ασύμπτωτή της y=1

που την τέμνει σε άπειρα σημεία.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2012 1:40 am**

21.

για $x \le 1$ και f(x)=-x^2+2

για

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2012 10:41 am**

Για τα 16) και 17). H f(x)=x^3

έχει

χωρίς να παρουσιάζει ακρότατο στο

και η εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε $x_0\ne 0$ έχει άλλο ένα κοινό σημείο με την C_f

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2012 10:42 am**

Απομένουν : 13,14,18,19,20,22

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 12:30 am**

13.

ολικό μέγιστό και ολικό ελάχιστο το 1

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 12:48 am**

14.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=tanh%28x%29

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 11:21 am**

pana1333 έγραψε: Δώστε παραδείγματα (αν υπάρχουν) (τύπος και γραφική παράσταση)

19) Συνάρτησης που αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν ενός σημείου $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της αλλά το $f\left(x_{0} \right)$ δεν είναι τοπικό ακρότατο.

Η $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{c} 3 - {\left( {x - 2} \right)^2},\,\,x < 2\\ - 1\,\,\,\,,\,\, x = 2\\ 1 - {\left( {x - 2} \right)^2},\,\,x > 2 \end{array} \right.}$
με γράφημα

: 19.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 4894 φορές

Προσθέτω την παρακάτω:
26) Συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0}$ του πεδίου ορισμού της, δεν αλλάζει το είδος της μονοτονίας εκατέρωθεν του $\displaystyle{x_0}$ και στο $\displaystyle{x_0}$ :
α) δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο
β) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο
γ) παρουσιάζει ολικό ακρότατο

π.χ. η $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{c} {e^x},\,\,x < 1\\ a\,\,,\,\,x = 1\\ \ln x,\,\,x > 1 \end{array} \right.}$

α) για α=1 β) για α=e γ) για α=0

με γράφημα

: 19+.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 4899 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 2:28 pm**

pana1333 έγραψε: Δώστε παραδείγματα (αν υπάρχουν) (τύπος και γραφική παράσταση)
22) Συνάρτησης που αλλάζει κυρτότητα σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της και ορίζεται κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο $\left(x_{0},f\left(x_{0} \right) \right)$ .

Η $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 3 - \sqrt[3]{{2 - x}},x < 2\\ 3 + \sqrt[3]{{x - 2}},x \ge 2 \end{array} \right.}$

έχει κατακόρυφη εφαπτομένη την $\displaystyle{x=2}$

έχει γραφική παράσταση

: 22.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 4867 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 2:30 pm**

Πολύ ωραία έμεινε το 18. Το 20 περιλαμβάνεται στην 26 (το β ερώτημα της) που προστέθηκε από τον απόστολο.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 3:04 pm**

Για το 18, ως παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τη συνάρτηση
$f(x)=x^4sin^{2}(1/x)$ όταν $x\neq 0$ και $f\left(x \right)=0$ όταν x=0

.
Η αυνάρτηση παρουσίαζει στο x=0

ελάχιστο, χωρίς να είναι γνησίως φθίνουσα αριστερά και γνησίως αύξουσα δεξιά του x=0

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2012 3:45 pm**

Προσθέτω κι εγώ άλλο ένα ενδιαφέρον :
Νομίζω :

27. Αν f'(x_0)>0

τότε δε συμβαίνει απαραίτητα η

γνήσια αύξουσα σε περιοχή του x_0

.
Παράδειγμα η συνάρτηση :

$\displaystyle{f(x) = \left \lbrace \begin{matrix}{ \frac{x}{2} + x^2 sin \left( \frac{1}{x} \right) & , & x \neq 0 \\ 0& , & x=0 \end{matrix}\right.}$
Η παράγωγος της οποίας είναι

$\displaystyle{f(x) = \left \lbrace \begin{matrix}{ \frac{1}{2} + 2x sin \left( \frac{1}{x} \right) - cos\left(\frac{1}{x}\right) & , & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}& , & x=0 \end{matrix}\right.}$

Αυτό συμβαίνει διότι η παράγωγος

δεν είναι συνεχής στο

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2012 3:19 pm**

sorfan έγραψε:Για το 18, ως παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τη συνάρτηση
$f\left(x \right)=x^4sin(1/x)$ όταν $x\neq 0$ και $f\left(x \right)=0$ όταν .
Η αυνάρτηση παρουσίαζει στο ελάχιστο, χωρίς να είναι γνησίως φθίνουσα αριστερά και γνησίως αύξουσα δεξιά του .

Σπύρο στη γραφική παράσταση δεν φαίνεται αν υπάρχει ακρότατο.

: 18b.png (9.12 KiB) Προβλήθηκε 4796 φορές

mathematica.gr

Δώστε παραδείγματα

Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα

Re: Δώστε παραδείγματα