mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 8:56 pm**

Δίνεται το σταθερό σημείο A(a,b)

με $a,b\neq 0$ και $a\neq -b$ . Aν K(k,0)

και $\Lambda (0,\lambda )$ είναι μεταβλητά σημεία τέτοια ώστε $\vec{AK}\cdot \vec{A\Lambda }=\vec{OA^2}$ , όπου

είναι η αρχή των αξόνων,τότε:
1) Να δείξετε ότι το μέσο του τμήματος $K\Lambda$ κινείται σε σταθερή ευθεία $(\varepsilon)$ ,η οποία είναι κάθετη στην

.
2)Αν η ευθεία $(\varepsilon )$ τέμνει την ευθεία $( \varepsilon _{1} )$ : x-y=2 στο σημείο

, έτσι ώστε $(OP)=\sqrt{2}$ , τότε να δείξετε ότι το σημείο

βρίσκεται στην ευθεία $(\eta ):y=x$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 10:26 pm**

miltos έγραψε:Δίνεται το σταθερό σημείο με $a,b\neq 0$ και $a\neq -b$ . Aν και $\Lambda (0,\lambda )$ είναι μεταβλητά σημεία τέτοια ώστε $\vec{AK}\cdot \vec{A\Lambda }=\vec{OA^2}$ , όπου είναι η αρχή των αξόνων,τότε:
1) Να δείξετε ότι το μέσο του τμήματος $K\Lambda$ κινείται σε σταθερή ευθεία $(\varepsilon)$ ,η οποία είναι κάθετη στην .
2)Αν η ευθεία $(\varepsilon )$ τέμνει την ευθεία $( \varepsilon _{1} )$ : x-y=2 στο σημείο , έτσι ώστε $(OP)=\sqrt{2}$ , τότε να δείξετε ότι το σημείο βρίσκεται στην ευθεία $(\eta ):y=x$ .

Είναι $\overrightarrow {AK} = \left( {k - \alpha , - b} \right)$ , $\overrightarrow {A\Lambda } = \left( { - \alpha ,\lambda - b} \right)$ και $\overrightarrow {OA} = \left( {\alpha ,b} \right)$

$\overrightarrow {AK} \cdot \overrightarrow {A\Lambda } = {\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ^2} \Rightarrow - \alpha k + {\alpha ^2} - b\lambda + {b^2} = {\alpha ^2} + {b^2} \Rightarrow$ $\alpha k = - b\lambda$ (1)

1) Το μέσο του ${\rm K}\Lambda$ είναι το σημείο: ${\rm M}\left( {\frac{k}{2},\frac{\lambda }{2}} \right)$

Αν $x = \frac{k}{2}$ και $y = \frac{\lambda }{2}$ τότε:

$\alpha x = \frac{{\alpha k}}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \alpha x = - \frac{{b\lambda }}{2} \Leftrightarrow \alpha x = - by \Leftrightarrow \alpha x + by = 0$

Άρα το

κινείται στην ευθεία με εξίσωση $\left( \varepsilon \right):\alpha x + by = 0$ η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης ${\lambda _\varepsilon } = - \frac{\alpha }{b}$

Η ${\rm O}{\rm A}$ έχει συντελεστή διεύθυνσης ${\lambda _{{\rm O}{\rm A}}} = \frac{b}{\alpha }$ .

Έτσι ${\lambda _\varepsilon } \cdot {\lambda _{{\rm O}{\rm A}}} = - 1 \Leftrightarrow \varepsilon \bot {\rm O}{\rm A}$ .

2) Το ${\rm P}$ είναι η λύση του συστήματος $\left\{ \begin{array}{l} \alpha x + by = 0 \\ x - y = 2\;(2) \\ \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits_{ \cdot b} \left\{ \begin{array}{l} \alpha x + by = 0 \\ bx - by = 2b \\ \end{array} \right.$

Προσθέτοντας τις δύο αυτές σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε:

$\left( {\alpha + b} \right)x = 2b \Leftrightarrow x = \frac{{2b}}{{\alpha + b}}$ και αντικαθιστώντας στην (2) βρίσκουμε $y = \frac{{ - 2\alpha }}{{\alpha + b}}$

Έτσι ${\rm P}\left( {\frac{{2b}}{{\alpha + b}},\frac{{ - 2\alpha }}{{\alpha + b}}} \right)$

$\left( {{\rm O}{\rm P}} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{4{\alpha ^2} + 4{b^2}}}{{{{\left( {\alpha + b} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow 2{\alpha ^2} + 4\alpha b + 2{b^2} = 4{\alpha ^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow$

${\alpha ^2} + 2\alpha b + {b^2} = 2{\alpha ^2} + 2{b^2} \Leftrightarrow {\left( {\alpha - b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \alpha = b$

Έτσι το σημείο ${\rm A}$ γίνεται ${\rm A}\left( {\alpha ,\alpha } \right)$ , οπότε ανήκει στην ευθεία $\left( \eta \right):y = x$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 01, 2012 11:31 pm**

hlkampel έγραψε:
miltos έγραψε:Δίνεται το σταθερό σημείο με $a,b\neq 0$ και $a\neq -b$ . Aν και $\Lambda (0,\lambda )$ είναι μεταβλητά σημεία τέτοια ώστε $\vec{AK}\cdot \vec{A\Lambda }=\vec{OA^2}$ , όπου είναι η αρχή των αξόνων,τότε:
1) Να δείξετε ότι το μέσο του τμήματος $K\Lambda$ κινείται σε σταθερή ευθεία $(\varepsilon)$ ,η οποία είναι κάθετη στην .
2)Αν η ευθεία $(\varepsilon )$ τέμνει την ευθεία $( \varepsilon _{1} )$ : x-y=2 στο σημείο , έτσι ώστε $(OP)=\sqrt{2}$ , τότε να δείξετε ότι το σημείο βρίσκεται στην ευθεία $(\eta ):y=x$ .
Είναι $\overrightarrow {AK} = \left( {k - \alpha , - b} \right)$ , $\overrightarrow {A\Lambda } = \left( { - \alpha ,\lambda - b} \right)$ και $\overrightarrow {OA} = \left( {\alpha ,b} \right)$

$\overrightarrow {AK} \cdot \overrightarrow {A\Lambda } = {\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ^2} \Rightarrow - \alpha k + {\alpha ^2} - b\lambda + {b^2} = {\alpha ^2} + {b^2} \Rightarrow$ $\alpha k = - b\lambda$ (1)

1) Το μέσο του ${\rm K}\Lambda$ είναι το σημείο: ${\rm M}\left( {\frac{k}{2},\frac{\lambda }{2}} \right)$

Αν $x = \frac{k}{2}$ και $y = \frac{\lambda }{2}$ τότε:

$\alpha x = \frac{{\alpha k}}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \alpha x = - \frac{{b\lambda }}{2} \Leftrightarrow \alpha x = - by \Leftrightarrow \alpha x + by = 0$

Άρα το κινείται στην ευθεία με εξίσωση $\left( \varepsilon \right):\alpha x + by = 0$ η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης ${\lambda _\varepsilon } = - \frac{\alpha }{b}$

Η ${\rm O}{\rm A}$ έχει συντελεστή διεύθυνσης ${\lambda _{{\rm O}{\rm A}}} = \frac{b}{\alpha }$ .

Έτσι ${\lambda _\varepsilon } \cdot {\lambda _{{\rm O}{\rm A}}} = - 1 \Leftrightarrow \varepsilon \bot {\rm O}{\rm A}$ .

2) Το ${\rm P}$ είναι η λύση του συστήματος $\left\{ \begin{array}{l} \alpha x + by = 0 \\ x - y = 2\;(2) \\ \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits_{ \cdot b} \left\{ \begin{array}{l} \alpha x + by = 0 \\ bx - by = 2b \\ \end{array} \right.$

Προσθέτοντας τις δύο αυτές σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε:

$\left( {\alpha + b} \right)x = 2b \Leftrightarrow x = \frac{{2b}}{{\alpha + b}}$ και αντικαθιστώντας στην (2) βρίσκουμε $y = \frac{{ - 2\alpha }}{{\alpha + b}}$

Έτσι ${\rm P}\left( {\frac{{2b}}{{\alpha + b}},\frac{{ - 2\alpha }}{{\alpha + b}}} \right)$

$\left( {{\rm O}{\rm P}} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{4{\alpha ^2} + 4{b^2}}}{{{{\left( {\alpha + b} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow 2{\alpha ^2} + 4\alpha b + 2{b^2} = 4{\alpha ^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow$

${\alpha ^2} + 2\alpha b + {b^2} = 2{\alpha ^2} + 2{b^2} \Leftrightarrow {\left( {\alpha - b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \alpha = b$

Έτσι το σημείο ${\rm A}$ γίνεται ${\rm A}\left( {\alpha ,\alpha } \right)$ , οπότε ανήκει στην ευθεία $\left( \eta \right):y = x$

)))

mathematica.gr

ευθεία-διανύσματα πολύ ωραία...

ευθεία-διανύσματα πολύ ωραία...

Re: ευθεία-διανύσματα πολύ ωραία...

Re: ευθεία-διανύσματα πολύ ωραία...