mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2012 8:43 am**

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z=x+yi, x, y \in R$ . Να βρεθεί η μέγιστη/ελάχιστη τιμή της παράστασης |z^3-z+2|

όταν

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2012 9:04 am**

erxmer έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z=x+yi, x, y \in R$ . Να βρεθεί η μέγιστη/ελάχιστη τιμή της παράστασης όταν .

Έστω $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x^2+y^2=1.}$ Αναζητούμε τις άκρες τιμές της παράστασης $\displaystyle{|(x+yi)^3-(x+yi)+2|.}$

Λόγω της πρώτης σχέσης είναι $\displaystyle{y^2=1-x^2}$ και ως εκ τούτου είναι και $\displaystyle{x\in [-1,1].}$

Τότε, είναι

$\displaystyle{|(x+yi)^3-(x+yi)+2|=|(4x^3-3x+2)+y(4x^2-2)i|=\sqrt{(4x^3-3x+2)^2+y^2(4x^2-2)^2}=\sqrt{(4x^3-3x+2)^2+(1-x^2)(4x^2-2)^2}=}$

$\displaystyle{=...=\sqrt{16x^3-4x^2-16x+8}}$

Πλέον, έχουμε το εξής πρόβλημα:

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης

$\displaystyle{f(x)=16x^3-4x^2-16x+8,}$ όταν $\displaystyle{x\in [-1,1].}$

Είναι

$\displaystyle{f'(x)=8(6x^2-x-2)=8(2x+1)(3x-2)}$ .

Είναι $\displaystyle{f(-1)=4,f\Big(\frac{2}{3}\Big)=\frac{8}{27}<4}$

και

$\displaystyle{f(1)=4,f\Big(-\frac{1}{2}\Big)=13>4.}$

Άρα

$\displaystyle{\max_{x\in [-1,1]} f=13}$ και $\displaystyle{\min_{x\in [-1,1]}=\frac{8}{27}.}$

Επομένως, το ζητούμενο μέγιστο είναι το $\displaystyle{\sqrt{13}}$ και το ελάχιστο το $\displaystyle{\sqrt{\frac{8}{27}}.}$

Για την ιστορία, ας αναφερθεί ότι αυτό το θέμα (χωρίς την εύρεση του ελαχίστου) ήταν το πρώτο θέμα του διαγωνισμού Putnam του έτους 1948.

mathematica.gr

Mέγιστο-ελάχιστο

Mέγιστο-ελάχιστο

Re: Mέγιστο-ελάχιστο