mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 09, 2012 12:41 pm**

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες

$f(x+y) \le f(xy),\ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 09, 2012 1:08 pm**

s.kap έγραψε:Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες

$f(x+y) \le f(xy),\ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Μια αντιμετώπιση:

Η δοθείσα για $\displaystyle{y=0}$ δίνει $\displaystyle{\boxed{f(x)\leq f(0),}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ (1)

Επίσης, για $\displaystyle{y=-x}$ δίνει $\displaystyle{f(-x^2)\geq f(0)}$ , (2) η οποία σε συνδυασμό με την (1) μας λέει ότι η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή στο διάστημα $\displaystyle{(-\infty, 0].}$

Αποδεικνύουμε ότι είναι σταθερή με την ίδια τιμή και στο $\displaystyle{(0,+\infty).}$

Έστω $\displaystyle{a>0.}$ Τότε υπάρχουν $\displaystyle{x,y>0}$ ώστε $\displaystyle{a=(-x)(-y),}$ οπότε, λόγω της αρχικής και του προηγούμενου συμπεράσματος, έχουμε

$\displaystyle{f(a)=f\Big((-x)(-y)\Big)\geq f(-(x+y))=f(0)}$ . Επομένως, από την (1) έχουμε πάλι $\displaystyle{f(a)=f(0)}$ για κάθε $\displaystyle{a>0.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 12:41 am**

Και εδώ: viewtopic.php?f=52&t=20087

mathematica.gr

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή