mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 9:14 pm**

Μετά την επιτυχία που είχαν οι συλλογές στα μαθηματικά γενικής και κατεύθυνσης. Ας συνεχίσουμε με την Β λύκείου. Ξεκινάμε με κατεύθυνση και αν υπάρχει διάθεση και συμμετοχή συνεχίζουμε και σε αλγεβρα.

Ας προσπάθήσουμε να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε και στις άλλες συλλογές.

$\bullet$ ΟΧΙ θέματα εξετάσεων (αν και για είναι λίγα)

$\bullet$ ΟΧΙ θεματα της ΟΕΦΕ

$\bullet$ OXI περισσότερες των 2-3 άλυτων ασκήσεων.

$\bullet$ Να μην μπαίνει άσκηση συνδυαστική από μεταγενέστερο κεφάλαιο δηλαδή να μην βάλετε στα διανύσματα άσκηση με ευθεία, ας μπει στη ευθεία αν σας αρέσει τόσο.

$\bullet$ Εφόσον τα προτεινόμενα θέματα τα αντλούμε από διάφορα βοηθήματα, επιβάλλεται να αναφέρεται η πηγή (εφόσον υπάρχει).

$\bullet$ Ας μην προτείνουμε τραβηγμένα θέματα καθώς και ούτε ασκήσεις ένα ερώτημα (ας το σπάσουμε σε καθοδηγούμενα υποερωτήματα).

$\bullet$ Ας προσπαθήσουμε τα προτεινόμενα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (από 3 έως 5 ερωτήματα).

$\bullet$ Να προσπάθούμε να δείνουμε ολοκληρωμένες λύσεις, έτσι ίσως βοηθήσουμε τον Parmenidis να μας δώσει εκτός του αρχείο των εκφωνήσεων και αρχείο με λύσεις. Επίσης θα είναι κατανοητές και από τους μαθητες.

Στόχος μας είναι να κάνουμε μια συλλογή με $\displaystyle{50}$ .

Μιας και έχουμε $\displaystyle{3}$ κεφάλαια,πιστεύω πως μια συλλογή με:

$\bullet$ $\displaystyle{15}$ ασκήσεις στα διανύσματα.

$\bullet$ $\displaystyle{15}$ ασκήσεις στην ευθεία

$\bullet$ $\displaystyle{20}$ ασκήσεις στις κωνικές τομές

Νομίζω οτι είναι καλά. Αν είναι βάζουμε και λίγα συνδυαστικά θέματα, όχι όμως όλες οι ασκήσεις να είναι συνδυαστικες.

Λόγω του μικρού αριθμού των ασκήσεων, θα ήθελα οι συμμετέχοντες να κοιτάζουν τα προηγούμενα θέματα, ώστε να μην έχουμε ασκήσεις ίδιας μορφής.

Ελπίζω, σε συμμετοχή και άλλων μέλων καθώς και μαθητών.

$\bullet$ Επίσης συνεχίζεται η συλλογή και στα ΕΠΑΛ.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 9:29 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 1

Αν $\displaystyle{\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - 3\overrightarrow {O\Gamma } = \overrightarrow 0 }$ και $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right| = \frac{{\sqrt 5 }}{3} }$

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

β. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ .

γ. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} }$ είναι ορθογώνια.

δ. Να αποδείξετε ότι η γωνία των $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } }$ είναι οξεία.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 9:49 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }}$ και $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}$

α)Δείξτε ότι $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}$

β) Βρείτε την $\displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 10:15 pm**

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }}$ και $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}$

α)Δείξτε ότι $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}$

β) Βρείτε την $\displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}$

Λύση (καλύτερα να λύνω παρά να παρακολουθώ το ποδόσφαιρο...)

α) Έχουμε ότι $\pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha = \lambda \cdot \vec \beta \,\,\,\left( 1 \right)$

Εύρεση του $\lambda$

$\begin{array}{l} \vec \beta \cdot \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha = \vec \beta \cdot \vec \alpha \mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \vec \beta \cdot \left( {\lambda \vec \beta } \right) = \vec \beta \cdot \vec \alpha \\ \Leftrightarrow \lambda \cdot {\left| {\vec \beta } \right|^2} = \vec \beta \cdot \vec \alpha \\ \Leftrightarrow \lambda = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \\ \end{array}$

Οπότε η σχέση (1) γίνεται: $\pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta \,\,\,\left( 2 \right)$

Όμοια βρίσκουμε, $\pi \rho o{\beta _{\vec \alpha }}\overrightarrow \beta = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \vec \alpha \,\,\,\left( 3 \right)$

Η σχέση (2) γίνεται από τα δεδομένα:

$\pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta \Rightarrow - 2\vec \beta = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta \Rightarrow 2\left| {\vec \beta } \right| = \frac{{\left| {\vec \beta \cdot \vec \alpha } \right|}}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \left| {\vec \beta } \right| \Rightarrow 2{\left| {\vec \beta } \right|^2} = \left| {\vec \beta \cdot \vec \alpha } \right|\,\,\,\left( 4 \right)$

Η σχέση (3) γίνεται από τα δεδομένα:

$\pi \rho o{\beta _{\vec \alpha }}\overrightarrow \beta = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \vec \alpha \Rightarrow - \frac{1}{4}\vec \alpha = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \vec \alpha \Rightarrow \frac{1}{4}\left| {\vec \alpha } \right| = \frac{{\left| {\vec \beta \cdot \vec \alpha } \right|}}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \left| {\vec \alpha } \right| \Rightarrow \frac{1}{4}{\left| {\vec \alpha } \right|^2} = \left| {\vec \beta \cdot \vec \alpha } \right|\,\,\,\left( 5 \right)$

Από (4) και (5) παίρνουμε:

$2{\left| {\vec \beta } \right|^2} = \frac{1}{4}{\left| {\vec \alpha } \right|^2} \Rightarrow {\left| {\vec \alpha } \right|^2} = 8{\left| {\vec \beta } \right|^2} \Rightarrow \left| {\vec \alpha } \right| = 2\sqrt 2 \cdot \left| {\vec \beta } \right|$

β) Η σχέση (4) γίνεται:

$\begin{array}{l} \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha = \frac{{\vec \beta \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta \Rightarrow - 2\vec \beta = \frac{{\left| {\vec \beta } \right| \cdot \left| {\vec \alpha } \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta \Rightarrow \\ \Rightarrow - 2\vec \beta = \frac{{\left| {\vec \beta } \right| \cdot \left| {\vec \beta } \right|2\sqrt 2 \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta \\ \Rightarrow - 2\vec \beta = 2\sqrt 2 \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi \cdot \vec \beta \\ \mathop \Rightarrow \limits^{\vec \beta \ne \vec 0} - 2 = 2\sqrt 2 \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi \\ \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \\ \mathop \Rightarrow \limits^{\varphi \in \left[ {0,2\pi } \right]} \varphi = \pi - \frac{\pi }{4} \\ \Rightarrow \varphi = \frac{{3\pi }}{4} \\ \end{array}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 10:27 pm**

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }}$ και $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}$

α)Δείξτε ότι $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}$

β) Βρείτε την $\displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}$

Mε πρόλαβε ο Μάκης, δίνω μια άλλη λύση:

α) Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις εσωτερικά με $\vec{\beta}$ και $\vec{\alpha}$ αντίστοιχα και έχουμε:

$\displaystyle{\vec{\beta}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-2|\vec{\beta}|^2}$ και

$\displaystyle{\vec{\alpha}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2}$ . Άρα, $\displaystyle{-2|\vec{\beta}|^2=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow 8{|\vec{\beta}|^2=|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow {|\vec{\alpha}|=2\sqrt{2}|\vec{\beta}|}$ .

β) Αν $\phi$ η ζητούμενη γωνία, είναι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \phi=\frac{\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|}\overset{a)}=\frac{-2|\vec{\beta }|^2}{2\sqrt{2}|\vec{\beta}||\vec{\beta}|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ άρα $\displaystyle{\phi=135^{o}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 10:34 pm**

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1

Αν $\displaystyle{\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - 3\overrightarrow {O\Gamma } = \overrightarrow 0 }$ και $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right| = \frac{{\sqrt 5 }}{3} }$

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

β. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ .

γ. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} }$ είναι ορθογώνια.

δ. Να αποδείξετε ότι η γωνία των $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } }$ είναι οξεία.

Λύση

α) Αναλύουμε τα διανύσματα στην κορυφή

, δηλαδή,

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - 3\overrightarrow {O\Gamma } = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {O{\rm A}} + 2\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} - 3\overrightarrow {O{\rm A}} - 3\overrightarrow {{\rm A}\Gamma } = \vec 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} = \frac{3}{2} \cdot \overrightarrow {{\rm A}\Gamma } \\ \end{array}$

άρα $\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} //\overrightarrow {{\rm A}\Gamma }$ και επειδή η κορυφή

είναι κοινή τα σημεία ${\rm A},{\rm B},\Gamma$ είναι συνευθειακά.

β) Επειδή, $\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} = \lambda \cdot \overrightarrow {{\rm A}\Gamma } ,\,\,\,\,\lambda = \frac{3}{2} > 1$ καταλαβαίνουμε ότι το σημείο $\Gamma$ βρίσκεται μεταξύ των σημείων ${\rm A},{\rm B}$

γ) Η δεδομένη σχέση γίνεται,

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - 3\overrightarrow {O\Gamma } = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow {O\Gamma } \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right| \\ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right|^2} = {\sqrt 5 ^2} \\ \Rightarrow {\overrightarrow {OA} ^2} + 4{\overrightarrow {OB} ^2} + 4\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {O{\rm B}} = 5 \\ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} + 4{\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} + 4\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {O{\rm B}} = 5 \\ \Rightarrow 1 + 4 + 4\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {O{\rm B}} = 5 \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {O{\rm B}} = 0 \\ \mathop \Rightarrow \limits_{\overrightarrow {O{\rm B}} \ne \vec 0}^{\overrightarrow {OA} \ne \vec 0} \overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {O{\rm B}} \\ \end{array}$

δ) Ανάλογα έχουμε,

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - 3\overrightarrow {O\Gamma } = \vec 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow {O\Gamma } - \overrightarrow {OA} \\ \Rightarrow 2 \cdot \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {3\overrightarrow {O\Gamma } - \overrightarrow {OA} } \right| \\ \Rightarrow 4 \cdot {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = {\left| {3\overrightarrow {O\Gamma } - \overrightarrow {OA} } \right|^2} \\ \Rightarrow 4 = 9 \cdot {\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right|^2} - 6 \cdot \overrightarrow {O\Gamma } \cdot \overrightarrow {OA} + {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} \\ \Rightarrow 4 = 5 - 6 \cdot \overrightarrow {O\Gamma } \cdot \overrightarrow {OA} + 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow {O\Gamma } \cdot \overrightarrow {OA} = \frac{1}{3} > 0 \\ \Rightarrow 0 < \mathop {\left( {\overrightarrow {O\Gamma } ,\overrightarrow {OA} } \right)}\limits^ \wedge < \frac{\pi }{2} \\ \end{array}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 10:37 pm**

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }}$ και $\displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}$

α)Δείξτε ότι $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}$

β) Βρείτε την $\displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}$
Mε πρόλαβε ο Μάκης, δίνω μια άλλη λύση:

α) Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις εσωτερικά με $\vec{\beta}$ και $\vec{\alpha}$ αντίστοιχα και έχουμε:

$\displaystyle{\vec{\beta}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-2|\vec{\beta}|^2}$ και

$\displaystyle{\vec{\alpha}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2}$ . Άρα, $\displaystyle{-2|\vec{\beta}|^2=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow 8{|\vec{\beta}|^2=|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow {|\vec{\alpha}|=2\sqrt{2}|\vec{\beta}|}$ .

β) Αν $\phi$ η ζητούμενη γωνία, είναι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \phi=\frac{\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|}\overset{a)}=\frac{-2|\vec{\beta }|^2}{2\sqrt{2}|\vec{\beta}||\vec{\beta}|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ άρα $\displaystyle{\phi=135^{o}}$

Γιώργο εννοείται ότι κρατάμε την λύση σου!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 10:49 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 3

Έστωσαν τα μη μηδενικά και συνεπίπεδα διανύσματα $\displaystyle{ \overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ με τα $\displaystyle{\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ να έχουν το ίδιο μέτρο και να είναι κάθετα.
Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{ |\overrightarrow a |^2 |\overrightarrow b |^2 = (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b )^2 + (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c )^2 }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 10:49 pm**

Μια ιδέα - πρόταση : αν συμφωνούν οι συμμετέχοντες, να χρησιμοποιούμε όσο είναι δυνατόν λατινικούς χαρακτήρες

για τα σημεία και τα διανύσματα... (Για ευκολία φυσικά στο Latex)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 11:01 pm**

chris_gatos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Έστωσαν τα μη μηδενικά και συνεπίπεδα διανύσματα $\displaystyle{ \overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ με τα $\displaystyle{\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ να έχουν το ίδιο μέτρο και να είναι κάθετα.
Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{ |\overrightarrow a |^2 |\overrightarrow b |^2 = (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b )^2 + (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c )^2 }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ξέρω έχει ένα ερώτημα, αλλά είναι καλούλα!

Λύση

Έχουμε ισοδύναμα από την ζητούμενη σχέση:

$\begin{array}{l} |\vec a{|^2}|\vec b{|^2} = {(\vec a\cdot\vec b)^2} + {(\vec a\cdot\vec c)^2} \Leftrightarrow |\vec a{|^2}|\vec b{|^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} \cdot {\left| {\vec b} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge + {\left| {\vec a} \right|^2} \cdot {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge \\ \mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| {\vec a} \right| \ne 0} |\vec b{|^2} = {\left| {\vec b} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge + {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge \\ \Leftrightarrow |\vec b{|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge = {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |\vec b{|^2} \cdot \left( {1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge } \right) = {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge \\ \Leftrightarrow |\vec b{|^2} \cdot \eta {\mu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge = {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge } \right) \\ \Leftrightarrow |\vec b{|^2} \cdot \eta {\mu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge = {\left| {\vec c} \right|^2} \cdot \eta {\mu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge \\ \end{array}$

που ισχύει, αφού $\left| {\vec b} \right| = \left| {\vec c} \right|$ και για τα συνεπίπεδα διανύσματα ισχύει:

$\begin{array}{l} \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge + \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge + \mathop {\left( {\vec b,\vec c} \right)}\limits^ \wedge = 2\pi \Leftrightarrow \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge + \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge + \frac{\pi }{2} = 2\pi \\ \Leftrightarrow \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge = 2\pi - \frac{\pi }{2} - \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge \\ \Leftrightarrow \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge = \frac{{3\pi }}{2} - \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge \\ \end{array}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 11:12 pm**

Άσκηση 4

(Α) Έστω δύο διανύσματα $\vec a,\vec b$ του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: $\vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|$ (λύνεται απλά και με την εφαρμογή του βιβλίου αλλά καλύτερα να δοθεί πλήρης λύση)

(Β)Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right) = \sqrt {x + 7} + \sqrt {11 - x}$ . Με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της

Αντώνης (Κώστας) Κυριακόπουλος - Βιβλίο κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 11:25 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec a$ και $\vec b$ για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις $\mathop {\left( {\vec a,\;\vec a + 2\vec b} \right)}\limits^ \wedge = \frac{\pi }{3}$ και $\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|$ .

α. Να αποδείξετε ότι $\vec a \bot \vec b$ .

β. Να αποδείξετε ότι $\left| {\vec b} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {\vec a} \right|$

γ. Αν για το διάνυσμα $\vec c$ ισχύει $\vec a \cdot \left( {4\vec c - \vec a} \right) = 4{\vec b^2} + {\vec c^2}$ , να δείξετε ότι $\vec a \nearrow \nearrow \vec c$

Edit: Έγινε διόρθωση στο τελευταίο πρόσημο. Ευχαριστω τον Μάκη Χατζόπουλο για την ειδοποίηση.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 11:57 pm**

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 4

(Α) Έστω δύο διανύσματα $\vec a,\vec b$ του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: $\vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|$ (λύνεται απλά και με την εφαρμογή του βιβλίου αλλά καλύτερα να δοθεί πλήρης λύση)

(Β)Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right) = \sqrt {x + 7} + \sqrt {11 - x}$ . Με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Σημείωση:
1. Μιας και ξεκινήσαμε και με λίγα ερωτήματα έδωσα την παραπάνω άσκηση, είναι διαφορετική από αυτές που είδαμε
2. Την πηγή θα την προσθέσω μετά...

Α. Αν $\vec a = \vec 0$ ή $\vec b = \vec 0$ τότε ισχύει η ισότητα.

Αν $\vec a \ne \vec 0$ και $\vec b \ne \vec 0$ τότε ισοδύναμα έχουμε:

$\vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sigma \upsilon \nu \varphi \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi \le 1$ (*) το οποίο ισχύει.

Το ίσον ισχύει αν $\sigma \upsilon \nu \varphi = 1 \Leftrightarrow \hat \varphi = 0^\circ$ δηλαδή αν $\vec a \nearrow \nearrow \vec b$

(*) $\hat \varphi = \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge$

Β. Έστω τα διανύσματα $\vec a = \left( {\sqrt {x + 7} ,\;\sqrt {11 - x} } \right)$ και $\vec b = \left( {1,\;1} \right)$ με $- 7 \le x \le 11$

Είναι $\left| {\vec a} \right| = \sqrt {x + 7 + 11 - x} \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right| = 3\sqrt 2$ και $\left| {\vec b} \right| = \sqrt 2$

$\vec a \cdot \vec b = \sqrt {x + 7} + \sqrt {11 - x} \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = f(x)$

Από Α ερώτημα είναι
$\vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \Leftrightarrow f(x) \le 3\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \Leftrightarrow f(x) \le 6$

Άρα η μέγιστη τιμή της

είναι το

η οποία επιτυγχάνεται αν x = 2

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 12:59 am**

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec a$ και $\vec b$ για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις $\mathop {\left( {\vec a,\;\vec a + 2\vec b} \right)}\limits^ \wedge = \frac{\pi }{3}$ και $\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|$ .

α. Να αποδείξετε ότι $\vec a \bot \vec b$ .

β. Να αποδείξετε ότι $\left| {\vec b} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {\vec a} \right|$

γ. Αν για το διάνυσμα $\vec c$ ισχύει $\vec a \cdot \left( {4\vec c - \vec a} \right) = 4{\vec b^2} - {\vec c^2}$ , να δείξετε ότι $\vec a \nearrow \nearrow \vec c$

α) Έχουμε,

$\begin{array}{l} \vec a \cdot \left( {\vec a + 2\vec b} \right) = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec a + 2\vec b} \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {{\vec a}^2} + 2\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot 2 \cdot \left| {\vec a} \right| \cdot \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow {{\vec a}^2} + 2\vec a \cdot \vec b = {{\vec a}^2} \\ \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0 \\ \mathop \Leftrightarrow \limits_{\vec b \ne \vec 0}^{\vec a \ne \vec 0} \vec a \bot \vec b \\ \end{array}$

β) Παίρνουμε την δεδομένη σχέση και έχουμε ισοδύναμα,

$\begin{array}{l} \left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right| \Leftrightarrow {\left| {\vec a + 2\vec b} \right|^2} = 4{\left| {\vec a} \right|^2} \\ \Leftrightarrow {{\vec a}^2} + 4\vec a\vec b + 4{{\vec b}^2} = 4{{\vec a}^2} \\ \Leftrightarrow 4 \cdot {{\vec b}^2} = 3 \cdot {{\vec a}^2} \\ \Leftrightarrow {\left| {\vec b} \right|^2} = \frac{3}{4} \cdot {\left| {\vec a} \right|^2} \\ \Leftrightarrow \left| {\vec b} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \left| {\vec a} \right| \\ \end{array}$

γ) Έχουμε,

$\begin{array}{l} \vec a\cdot\left( {4\vec c - \vec a} \right) = 4{{\vec b}^2} + {{\vec c}^2} \Leftrightarrow 4\vec a\vec c - {{\vec a}^2} = 4{{\vec b}^2} + {{\vec c}^2} \\ \Leftrightarrow 4\vec a\vec c - {{\vec a}^2} = 3{{\vec a}^2} + {{\vec c}^2} \\ \Leftrightarrow 4\vec a\vec c = 4{{\vec a}^2} + {{\vec c}^2} \\ \Leftrightarrow 4{{\vec a}^2} - 4\vec a\vec c + {{\vec c}^2} = 0 \\ \Leftrightarrow {\left( {2\vec a - \vec c} \right)^2} = 0 \\ \Leftrightarrow 2\vec a = \vec c \\ \Leftrightarrow \vec a \uparrow \uparrow \vec c \\ \end{array}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 1:35 am**

ΑΣΚΗΣΗ 5

1) Το εσωτερικό γινόμενο των: ${(\vec a+2\vec b)}{(\vec a)}={|{\vec a+2\vec b}||{\vec a}|cos( \vec a,\vec a+2\vec b)$

$(\vec a)^2+{2\vec a}{\vec b}=2|\vec a|^2cos\frac{\pi}{3}=|\veca|^2 \Rightarrow (\vec a)^2+2(\vec a)(\vec b)=(\vec a)^2\Rightarrow \vec a\vec b=0$

$\vec a \bot \vec b$

2)απο την δοσμένη σχέση : $|\vec a+ 2\vec b|=2|\vec a| \Rightarrow (\vec a+2 \vec b)^2=4(\vec a)^2$

${( \vec a )}^2+4{( \vec a)}{( \vec b)}+4 {( \vec b)}^2=4{( \vec a)}^2 \Rightarrow 4{( \vec b)}^2=3{(\vec a)}^2 \Rightarrow {|\vec b|}={\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{|\vec a|}$

3) $4{ \vec a}{\vec c} -{(\vec a)}^2=4{( \vec b)}^2+ (\vec c)}^2 \Rightarrow 4 {(\vec a)}{(\vec c)}=4{(\vec a)}^2+(\vec c)}^2$

${(2{\vec a}-{\vec c})}^2=0 \Rightarrow 2{\vec a}- {\vec c}=\vec 0 \Rightarrow \vec a \nearrow \nearrow \vec c$

Φιλικα και μαθηματικα
dennys

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 1:51 am**

ΑΣΚΗΣΗ 6

1) Δινονται τα διανύσματα $\vec a, \vec b, \vec c$ τετοια ωστα $|\vec b|=|\vec c|=7,|\vec a|=\sqrt{13}$

και $4{ \vec b}+3 {\vec c}=7 {\vec a}$ .Να βρείτε την γωνία των $(\vec b, \vec c)$

2)Αν τα 3 διανύσματ α εχουν κοινη αρχή να δείξετε οτι τα περατα τους ειναι συνευθεικά.

3 ) Να βρείτε διανυσμα $\vec x$ και το μετρο του αν $\vec x // (2 \vec b+\vec c)$ , $(\vec x+ 2 \vec c) \bot \vec b$

φιλικα και καληνυχτικά

dennys

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 3:17 am**

ΑΣΚΗΣΗ 7

Για τα σημεία $\displaystyle{A,B,C,D}$ ισχύει ότι $2\overrightarrow {B D} = 10\overrightarrow {CD} + 8\overrightarrow { D A}$

α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ είναι συνευθειακά

Αν $\displaystyle{A (-1,-4), B(4,1), C(0,k-2)}$ με $\displaystyle{k \in \mathbb{R}}$ :

β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{k}$

γ. Για $\displaystyle{k = -1}$ , να λύσετε την εξίσωση $\overrightarrow {u} \cdot\overrightarrow { BC} = 0$ όπου $\overrightarrow {u} = \left( {x + 2,x - 1} \right)$ με $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 11:59 am**

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7

Για τα σημεία $\displaystyle{A,B,C,D}$ ισχύει ότι $2\overrightarrow {B D} = 10\overrightarrow {CD} + 8\overrightarrow { D A}$

α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ είναι συνευθειακά

Αν $\displaystyle{A (-1,-4), B(4,1), C(0,k-2)}$ με $\displaystyle{k \in \mathbb{R}}$ :

β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{k}$

γ. Για $\displaystyle{k = -1}$ , να λύσετε την εξίσωση $\overrightarrow {u} \cdot\overrightarrow { BC} = 0$ όπου $\overrightarrow {u} = \left( {x + 2,x - 1} \right)$ με $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
από διαγώνισμα μου

α) Επιλέγω το $\displaystyle{A}$ ως σημείο αναφοράς και έχω $\displaystyle{2\overrightarrow {BD} = 10\overrightarrow {CD} + 8\overrightarrow {DA} \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = 10\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) - 8\overrightarrow {AD} }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AB} = 10\overrightarrow {AD} - 10\overrightarrow {AC} - 8\overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 5\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {AC} }$ . Αφού έχουν κοινή αρχή, θα έχουν και κοινό φορέα και συνεπώς τα $\displaystyle{A,B,C}$ συνευθειακά.

β) Έχουμε $\displaystyle{\overrightarrow {AB} = 5\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left( {5,5} \right) = 5\left( {1,k + 2} \right) \Leftrightarrow \left( {5,5} \right) = \left( {5,5k + 10} \right) \Rightarrow k = - 1}$

γ) Για $\displaystyle{k = - 1}$ έχουμε $\displaystyle{C\left( {0, - 3} \right)}$ και $\displaystyle{\overrightarrow {BC} = \left( { - 4, - 4} \right)}$ . Τότε $\displaystyle{\overrightarrow {u \cdot } \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2,x - 1} \right)\left( { - 4, - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 1:26 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 8

Δίνεται το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με $\overrightarrow {AC } = 8\overrightarrow {u} + \overrightarrow {v}$ και $\overrightarrow {BD } = 4\overrightarrow {u} + 7\overrightarrow {v}$ οπού $\overrightarrow {u} ,\overrightarrow {v}$ μη μηδενικά και μη συγγραμικά διανύσματα ίσων μέτρων.

α. Να αποδείξετε ότι $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {u} - 3\overrightarrow {v}$ και $\overrightarrow {AD } = 6\overrightarrow {u} + 4\overrightarrow {v}$

β. Αν το τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι ορθογώνιο, να δείξετε ότι τα διανύσματα $\overrightarrow {u} ,\overrightarrow {v}$ είναι κάθετα

γ. Αν $\left| {\overrightarrow {u} } \right| = 4$ και $\widehat {\left( {\overrightarrow {u} ,\overrightarrow {v} } \right)} = \displaystyle\frac{\pi }{3}$ , να υπολογίσετε την απόσταση $\displaystyle{AM}$ , όπου $\displaystyle{M}$ μέσο της $\displaystyle{BC}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2012 3:45 pm**

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8

Δίνεται το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με $\overrightarrow {AC } = 8\overrightarrow {u} + \overrightarrow {v}$ και $\overrightarrow {BD } = 4\overrightarrow {u} + 7\overrightarrow {v}$ οπού $\overrightarrow {u} ,\overrightarrow {v}$ μη μηδενικά και μη συγγραμικά διανύσματα ίσων μέτρων.

α. Να αποδείξετε ότι $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {u} - 3\overrightarrow {v}$ και $\overrightarrow {AD } = 6\overrightarrow {u} + 4\overrightarrow {v}$

β. Αν το τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι ορθογώνιο, να δείξετε ότι τα διανύσματα $\overrightarrow {u} ,\overrightarrow {v}$ είναι κάθετα

γ. Αν $\left| {\overrightarrow {u} } \right| = 4$ και $\widehat {\left( {\overrightarrow {u} ,\overrightarrow {v} } \right)} = \displaystyle\frac{\pi }{3}$ , να υπολογίσετε την απόσταση $\displaystyle{AM}$ , όπου $\displaystyle{M}$ μέσο της $\displaystyle{BC}$

α. Αν

είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου τότε:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \Rightarrow$

$\overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow u + \frac{1}{2}\overrightarrow \upsilon - 2\overrightarrow u - \frac{7}{2}\overrightarrow \upsilon \Rightarrow$

$\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow u - 3\overrightarrow \upsilon$

$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow u - 3\overrightarrow \upsilon + 4\overrightarrow u + 7\overrightarrow \upsilon \Rightarrow$

$\overrightarrow {AD} = 6\overrightarrow u + 4\overrightarrow \upsilon$

β. Αφού το ABCD

είναι ορθογώνιο, τότε:

$\displaystyle{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \left( {2\overrightarrow u - 3\overrightarrow \upsilon } \right) \cdot \left( {6\overrightarrow u + 4\overrightarrow \upsilon } \right) = 0 \Leftrightarrow }$

$12{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} + 8\overrightarrow u \cdot \overrightarrow \upsilon - \overrightarrow {12u} \cdot \overrightarrow \upsilon - 12{\left| {\overrightarrow \upsilon } \right|^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow \upsilon } \right|}$

$- 4\overrightarrow u \cdot \overrightarrow \upsilon = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow \upsilon$ γιατί τα $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow \upsilon$ είναι μη μηδενικά.

γ. Σύμφωνα με την υπόθεση είναι $\displaystyle{\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow \upsilon } \right| = 4}$

$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \mathop \Leftrightarrow \limits^{\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} } \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \Leftrightarrow$

$\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow u - 3\overrightarrow \upsilon + 3\overrightarrow u + 2\overrightarrow \upsilon \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 5\overrightarrow u - \overrightarrow \upsilon \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {5\overrightarrow u - \overrightarrow \upsilon } \right| \Leftrightarrow$

${\left| {\overrightarrow {AM} } \right|^2} = 25{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 10\overrightarrow u \cdot \overrightarrow \upsilon + {\left| {\overrightarrow \upsilon } \right|^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow \upsilon } \right| = 4}$

$\displaystyle{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|^2} = 400 - 10\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow \upsilon } \right|\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + 16 \Leftrightarrow }$

${\left| {\overrightarrow {AM} } \right|^2} = 416 - 80 = 336 \Leftrightarrow$

$\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {336} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 4\sqrt {21}$

mathematica.gr

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)