mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 1:49 pm**

Κατασκευάστε στρεβλό τετράπλευρο ABCD

αν δίνονται οι πλευρές του AB = a,BC = b,CD = c

και δίνεται επίσης ότι οι απέναντι πλευρές είναι ορθογώνιες και οι κοινές κάθετοι των απέναντι πλευρών είναι επίσης ορθογώνιες.

(*) Στρεβλό τετράπλευρο, είναι κάθε τετράπλευρο που οι κορυφές δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 22, 2012 8:14 pm**

: Ορθοκεντρικό τετράεδρο 1.PNG (76.84 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Το ζητούμενο γεωμετρικο στοιχείο είναι ένα ορθοκεντρικό τετράεδρο $\displaystyle{ABCD}$ , δηλαδή ένα τετράεδρο που τα τρία ζεύγη των ακμών του είναι ορθογώνια.
Στην περίπτωσή μας αυτό ισχύει διότι το στρεβλό τετράπλευρο που ζητείται $\displaystyle{ABCD}$ εφόσον έχει τα δύο ζεύγη των πλευρών $\displaystyle{(AB,CD), (BC,DA)}$ ορθογώνια τότε
το τετράεδρο που σχηματίζεται αν φέρουμε και τις $\displaystyle{BD, AC}$ θα είναι ορθοκεντρικό δηλαδή και το νέο ζεύτος των
πλευρών $\displaystyle{BD, AC}$ θα είναι ορθογώνιο. (Γνωστό θεώρημα)

Στα ορθοκεντρικά τετράεδρα ακόμα ισχύει:
"Αν ένα τετράεδρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι ορθοκεντρικό τότε θα ισχύει: $\displaystyle{(AB)^2+(CD)^2=(BC)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2 \ \ (1)}$ (και αντίστροφα)"
Απόδειξη:
Εστω το $\displaystyle{ABCD}$ ένα ορθοκεντρικό τετράεδρο. Τότε:
Στο πρώτο σχήμα είναι: $\displaystyle{AC'=//AC}$ άρα $\displaystyle AC'\perp AD \ \ (2)$ .
Ακόμα επειδή το $\displaystyle{ABCC'}$ είναι παραλληλόγραμμο θα είναι ακόμα: $\displaystyle{AB=//CC'}$ , άρα και $\displaystyle CC'\perp CD \ \ (3)$
Από τις (2) και (3) και από τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{AC'B}$ και $\displaystyle{CC'D}$ προκύπτει:
$\displaystyle (AC')^2+(AD)^2=(C'D)^2=(CD)^2+(CC')^2\Rightarrow \\\Rightarrow (AB)^2+(CD)^2=(BC)^2+(AD)^2=(C'D)^2 \ \ (4)$
Με ανάλογο τρόπο δείχνεται και για το τρίτο ζεύγος των ακμών.

Άρα στο ζητούμενο τετράεδρο θα είναι: $\displaystyle{a^2+c^2=b^2+d^2}$ άρα $\displaystyle{ d^2=a^2+c^2-b^2}$ δηλαδή γνωστή. Ακόμα είναι γνωστή και η υποτείνουσα $\displaystyle{C'D}$ από τη σχέση (4).

: Ορθοκεντρικό τετράεδρο 2.PNG (83.18 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Στο σχήμα 2 σχεδιάστηκαν οι κοινές κάθετες των ζευγών $\displaystyle{AB,CD}$ και $\displaystyle{BC,DA}$ που θέλουμε να είναι ορθογώνιες. Οι κοινές αυτές κάθετες σε ορθοκεντρικά τετράεδρα τέμνονται στο ορθόκεντρο
του τετραέδρου $\displaystyle{H}$ και γι' αυτές ισχύει:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} D_1D_2\perp AD\\ D_1D_2\perp AC' \end{matrix}\right.$ άρα η κοινή αυτή κάθετη είναι και κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν οι $\displaystyle{AC', AD}$ .
Όμοια και η άλλη κοινή κάθετη $\displaystyle{B_1B_2}$ είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν οι $\displaystyle{CC',CD}$ .
Εφόσον θέλουμε οι κοινές αυτές κάθετες να είναι ορθογώνιες θα πρέπει και τα δύο αυτά επίπεδα να είναι μεταξύ των κάθετα.

Συμπέρασμα: Το τετράεδρο $\displaystyle{ACDC'}$ είναι κατασκευάσιμο γιατί ξέρουμε τις τέσσερις ακμές του και τη μία δίεδρη $\displaystyle{C-DC'-A}$ που είναι ορθή.

: Ορθοκεντρικό τετράεδρο 3.PNG (94 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Κατασκευή:
Σε μια ορθή δίεδρη στερεά γωνία και στην ακμή της ορίζουμε το γνωστό τμήμα $\displaystyle{C'D}$ από τη σχέση (4).
Στην κάθε μια έδρα της δίεδρης αυτής κατασκευάζουμε τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{AC'D}$ και $\displaystyle{CDC'}$ αφού γνωρίζουμε τις δύο κάθετες πλευρές τους.
Έτσι κατασκευαστηκε το τετράεδρο $\displaystyle{AC'DC}$ .
Στη συνέχεια από το σημείο $\displaystyle{C}$ φέρουμε την $\displaystyle{CB}$ ίση και παράλληλη προς την $\displaystyle{AC'}$ κι έτσι ορίστηκε το σημείο $\displaystyle{B}$ .
Το τετράεδρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι το ζητούμενο....

(Σωτήρη πολλά λόγια....και πολλά σχήματα...)

Κώστας Δόρτσιος.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 22, 2012 8:32 pm**

Κώστα σε ευχαριστώ ειλικρινά.
Είναι καθαρό ότι μετά την εκπληκτική αυτή παρέμβαση σου δεν υπάρχει η δυνατότητα της όποιας επιπλέον παρέμβασης (θα το χαλούσε).

S.E.Louridas

mathematica.gr

ΣΤΕΡΕΟΜ.+ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΣΤΕΡΕΟΜ.+ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Re: ΣΤΕΡΕΟΜ.+ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Re: ΣΤΕΡΕΟΜ.+ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ