mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 26, 2012 3:04 pm**

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC

με

.Στην προέκταση της βάσης του και προς το μέρος του

θεωρούμε μεταβλητό σημείο

. Να δειχθεί η διαφορά αποστάσεων του

από τις ίσες πλευρές του τριγώνου είναι σταθερή.

Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 26, 2012 5:11 pm**

alexandropoulos έγραψε:Έστω ισοσκελές τρίγωνο με .Στην προέκταση της βάσης του και προς το μέρος του θεωρούμε μεταβλητό σημείο . Να δειχθεί ότι το άθροισμα των αποστάσεων του από τις ίσες πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.

Όπως είναι, η άσκηση δεν είναι σωστή. Π.χ. αν στείλουμε το Μ (επί της

) στο "μείον άπειρο", τότε το εν λόγω άθροισμα πάει στο άπειρο. Αυτό που είναι σωστό είναι για

στο εσωτερικό του

. Αλλά τότε η άσκηση είναι πολλή γνωστή. Είμαι βέβαιος ότι υπάρχει στις περισσότερες σχολικές Γεωμετρίες: (MBA)+(MCA)=(ABC) =

σταθερό, άρα $\frac {1}{2} AB \cdot d_B + \frac {1}{2} AC \cdot d_C = const.$ , όπου d_B, d_C

οι εν λόγω αποστάσεις, και λοιπά με χρήση της AB=AC

.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 26, 2012 5:40 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε:
alexandropoulos έγραψε:Έστω ισοσκελές τρίγωνο με .Στην προέκταση της βάσης του και προς το μέρος του θεωρούμε μεταβλητό σημείο . Να δειχθεί ότι το άθροισμα των αποστάσεων του από τις ίσες πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.

Όπως είναι, η άσκηση δεν είναι σωστή. Π.χ. αν στείλουμε το Μ (επί της ) στο "μείον άπειρο", τότε το εν λόγω άθροισμα πάει στο άπειρο. Αυτό που είναι σωστό είναι για στο εσωτερικό του . Αλλά τότε η άσκηση είναι πολλή γνωστή. Είμαι βέβαιος ότι υπάρχει στις περισσότερες σχολικές Γεωμετρίες: σταθερό, άρα $\frac {1}{2} AB \cdot d_B + \frac {1}{2} AC \cdot d_C = const.$ , όπου οι εν λόγω αποστάσεις, και λοιπά με χρήση της .

Μ.

Κύριε Λάμπρου
έχετε απόλυτα δίκιο. Όταν το σημείο βρίσκεται εξωτερικά του ευθ. τμήματος της βάσης σταθερή είναι η διαφορά των αποστάσεων από τις ίσες πλευρές.
Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον

Υ.Γ. Η συγκεκριμένη παρέα ασκήσεων γράφτηκε από μνήμης με σκοπό να θυμηθούμε κάποιες κλασσικές προτάσεις αλλά η μνήμη!!!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 10, 2014 10:48 am**

alexandropoulos έγραψε:Έστω ισοσκελές τρίγωνο με .Στην προέκταση της βάσης του και προς το μέρος του θεωρούμε μεταβλητό σημείο . Να δειχθεί η διαφορά αποστάσεων του από τις ίσες πλευρές του τριγώνου είναι σταθερή.

Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση

Και μία ξεχασμένη!
Ευχαριστώ τον parmenides51 που μου τη θύμισε.

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρώ B(0,0)

την αρχή των αξόνων, C(c,0), M(x,0)

,

και $\displaystyle{A\left( {\frac{c}{2},a} \right)}$ , a>0

, οπότε το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές με AB=AC

. Αν

είναι οι αποστάσεις του σημείου

από τις πλευρές AC,AB

αντίστοιχα, θα δείξω ότι η διαφορά d_1-d_2

είναι σταθερή και ισούται με ένα από τα ίσα ύψη του ισοσκελούς.
Έστω ακόμα

το μήκος του ύψους από την κορυφή

.

Είναι $\displaystyle{{\lambda _{AB}} = \frac{{2a}}{c},{\lambda _{AC}} = - \frac{{2a}}{c}}$ , και οι πλευρές AC, AB

έχουν αντίστοιχες εξισώσεις:

$\boxed{AC:2ax+cy-2ac=0}$ και $\boxed{AB:2ax-cy=0}$

: Σταθερή διαφορά.1png.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

$\displaystyle{v = d(B,AC) = \frac{{| - 2ac|}}{{\sqrt {4{a^2} + {c^2}} }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{a,c > 0} }$ $\boxed{v = \frac{{2ac}}{{\sqrt {4{a^2} + {c^2}} }}}$ (1)

$\displaystyle{{d_1} - {d_2} = d\left( {M,AC} \right) - d\left( {M,AB} \right) = \frac{{|2ax - 2ac|}}{{\sqrt {4{a^2} + {c^2}} }} - \frac{{|2ax|}}{{\sqrt {4{a^2} + {c^2}} }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{a,c > 0,x < 0} }$

$\displaystyle{{d_1} - {d_2} = \frac{{ - 2ax + 2ac + 2ax}}{{\sqrt {4{a^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{d_1} - {d_2} = \frac{{2ac}}{{\sqrt {4{a^2} + {c^2}} }}}$ (2)

Άρα από

: $\boxed{d_1-d_2=v}$

mathematica.gr

Σταθερή Διαφορά

Σταθερή Διαφορά

Re: Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερή Διαφορά