mathematica.gr • Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (5)

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (5)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 29, 2012 5:44 pm

από socrates

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : \Bbb{R}\to \Bbb{R}$ ισχύει $f{'}(x)\ne 0$ για κάθε $x\in \Bbb{R}, \ f(0)=1$ και $f(x) f{'}(x)+e^x=f{'}(x)+e^xf(x)$ για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
Να βρείτε την

Re: Συναρτησιακή από το ο.ε.δ. (5)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 29, 2012 6:10 pm

από cretanman

Η δοσμένη σχέση γράφεται (f(x)-1)(f'(x)-e^x)=0

(f(x)-1)(f'(x)-e^x)=0

για κάθε $x\in\mathbb{R}.$

Αν υπάρχει $x_0\neq 0$ ώστε f(x_0)=1

f(x_0)=1

τότε επειδή f(0)=1

f(0)=1

άρα από το θεώρημα Rolle η

μηδενίζεται τουλάχιστον μία φορά, άτοπο λόγω της αρχικής σχέσης. Άρα x_0=0

x_0=0

.

Άρα για κάθε $x\neq 0$ ισχύει f'(x)=e^x

f'(x)=e^x

. Για $x\in(-\infty,0)$ είναι f(x)=e^x+c_1

f(x)=e^x+c_1

ενώ για $x\in(0,+\infty)$ είναι f(x)=e^x+c_2

f(x)=e^x+c_2

Όμως η

είναι συνεχής στο 0 ως παραγωγίσιμη οπότε πρέπει 1+c_1=1+c_2=1

1+c_1=1+c_2=1

δηλαδή

c_1=c_2=0

απ' όπου τελικά f(x)=e^x

f(x)=e^x

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος