mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 01, 2012 12:11 pm**

Δίνεται παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και μια ευθεία $\varepsilon$ που διέρχεται από το ${\rm A}$ και δεν έχει κανένα άλλο κοινό σημείο με το παραλληλόγραμμο. Να δείξετε ότι για κάθε σημείο $\Sigma$ της $\varepsilon$ ισχύει : $\left( {\Sigma {\rm A}\Gamma } \right) = \left( {\Sigma {\rm A}{\rm B}} \right) + \left( {\Sigma {\rm A}\Delta } \right)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 01, 2012 12:28 pm**

Έχω φέρει κάθετες στην $\displaystyle{\varepsilon }$ $\Delta {\rm K},\Lambda \Gamma$ και ${\rm M}{\rm B}$ και από το κέντρο του παραλληλογράμμου ${\rm O}$ κάθετη ${\rm O}{\rm N}$ στην $\displaystyle{\varepsilon }$ . Από το τραπέζιο ${\rm K}\Delta {\rm B}{\rm M}$ προκύπτει ότι ${\rm K}\Delta + {\rm B}{\rm M} = 2{\rm O}{\rm N}$ . Όμως το ${\rm O}{\rm N}$ από την ομοιότητα των τριγώνων ${\rm A}{\rm O}{\rm N}$ και ${\rm A}\Lambda \Gamma$ είναι το μισό του $\Lambda \Gamma$ . Άρα $\Lambda \Gamma$ (το ύψος του $\Sigma {\rm A}\Gamma$ ) είναι ίσο με το άθροισμα $\Delta {\rm K} + {\rm M}{\rm B}$ (το άθροισμα των υψών των $\Sigma {\rm A}\Delta$ και $\Sigma {\rm A}{\rm B}$ ) . Επομένως αφού τα τρίγωνα έχουν ίδια βάση η σχέση αποδείχτηκε .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 01, 2012 12:33 pm**

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα

ως την κοινή βάση των τριών τριγώνων και άρα, αρκεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα τών υψών των τριγώνων $\vartriangle SAB,\ \vartriangle SAD,$ που αντιστοιχούν στην κοινή τους πλευρά

, ισούται με το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου $\vartriangle SAC.$

Αυτό όμως δεν είνα δύσκολο να αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 01, 2012 12:50 pm**

blondy έγραψε:Δίνεται παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και μια ευθεία $\varepsilon$ που διέρχεται από το ${\rm A}$ και δεν έχει κανένα άλλο κοινό σημείο με το παραλληλόγραμμο. Να δείξετε ότι για κάθε σημείο $\Sigma$ της $\varepsilon$ ισχύει : $\left( {\Sigma {\rm A}\Gamma } \right) = \left( {\Sigma {\rm A}{\rm B}} \right) + \left( {\Sigma {\rm A}\Delta } \right)$ .

Και μία λύση εκτός σχολικής ύλης, αλλά για να την δουν π.χ. υποψήφιοι ΑΣΕΠ, μια και κάνει το πρόβλημα "τετριμμένο".

Ως προς εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων έχουμε

$\displaystyle{ (SAB)+(SAD) = \vec{SA} \times \vec{SB} + \vec{SA} \times \vec{SD}= \vec{SA} \times (\vec{SB} + \vec{SD}) =}$
$\displaystyle{= \vec{SA} \times (2\vec{SA} + \vec{AB}+ \vec{AD}) = \vec{SA} \times (2\vec{SA} + \vec{AC}) = 0 + (SAC)}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Εμβαδά-μια βοήθεια;

Εμβαδά-μια βοήθεια;

Re: Εμβαδά-μια βοήθεια;

Re: Εμβαδά-μια βοήθεια;

Re: Εμβαδά-μια βοήθεια;