mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 9:22 pm**

Αν:

$x=\underset{2\nu \; \psi \eta \varphi \acute{\iota } \alpha }{\underbrace{111...1}} \; \; \wedge \; \; y=\underset{\nu+1 \; \psi \eta \varphi \acute{\iota } \alpha }{\underbrace{111...1}} \; \; \wedge \; \; z=\underset{\nu \; \psi \eta \varphi \acute{\iota } \alpha }{\underbrace{666...6}}$ ,

να αποδείξετε ότι το άθροισμα: x+y+z+8

είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 10:58 pm**

JimVerman έγραψε:Αν:

$x=\underset{2\nu \; \psi \eta \varphi \acute{\iota } \alpha }{\underbrace{111...1}} \; \; \wedge \; \; y=\underset{\nu+1 \; \psi \eta \varphi \acute{\iota } \alpha }{\underbrace{111...1}} \; \; \wedge \; \; z=\underset{\nu \; \psi \eta \varphi \acute{\iota } \alpha }{\underbrace{666...6}}$ ,

να αποδείξετε ότι το άθροισμα: είναι τετράγωνο ρητού αριθμού.

Κάπου πρέπει να την έχουμε ξαναδεί. Ίσως μας το πεί ο ειδικός.

Είναι: $x = \underbrace {111 \cdot \cdot \cdot 1}_{2v\;\psi \eta \varphi \dot \iota \alpha } = 1 \cdot {10^0} + 1 \cdot {10^1} + 1 \cdot {10^2} + \cdot \cdot \cdot + 1 \cdot {10^{2v - 1}} = \frac{{{{10}^{2v}} - 1}}{9}$

ως άθροισμα των

πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο ${a_1} = 1$ και λόγο $\lambda = 10$ .

Ομοίως: $y = \underbrace {111 \cdot \cdot \cdot 1}_{v + 1\;\psi \eta \varphi \dot \iota \alpha } = 1 \cdot {10^0} + 1 \cdot {10^1} + 1 \cdot {10^2} + \cdot \cdot \cdot + 1 \cdot {10^v} = \frac{{{{10}^{v + 1}} - 1}}{9} = \frac{{10 \cdot {{10}^v} - 1}}{9}$ και

$z = \underbrace {666 \cdot \cdot \cdot 6}_{v\;\psi \eta \varphi \dot \iota \alpha } = 6 \cdot {10^0} + 6 \cdot {10^1} + 6 \cdot {10^2} + \cdot \cdot \cdot + 6 \cdot {10^{v - 1}} = 6 \cdot \frac{{{{10}^v} - 1}}{9} = \frac{{6 \cdot {{10}^v} - 6}}{9}$

Άρα $x + y + z + 8 = \frac{{{{10}^{2v}} - 1}}{9} + \frac{{10 \cdot {{10}^v} - 1}}{9} + \frac{{6 \cdot {{10}^v} - 6}}{9} + 8 \Rightarrow$

$x + y + z + 8 = \frac{{{{10}^{2v}} + 16 \cdot {{10}^v} + 64}}{9} \Rightarrow$

$x + y + z + 8 = {\left( {\frac{{{{10}^v} + 8}}{3}} \right)^2}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 03, 2012 11:45 pm**

εδώ

mathematica.gr

Πρόοδοι

Πρόοδοι

Re: Πρόοδοι

Re: Πρόοδοι