mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=24021

Σελίδα 1 από 1

Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 10, 2012 8:50 pm
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Άσκηση 1

Αν x,y,a,b είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

x^3+y^3=a^3+b^3

x\cdot y=a\cdot b

\displaystyle{x>y} και a>b

να αποδείξετε ότι x=a και y=b.

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 10, 2012 10:33 pm
από wolfram
Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Αν x,y,a,b είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

x^3+y^3=a^3+b^3

x\cdot y=a\cdot b

\displaystyle{x>y} και a>b

να αποδείξετε ότι x=a και y=b.
Έστω y = 0

* Αν b = 0 τότε x = a και y = b άρα είμαστε οκ.

* Αν a = 0 τότε b = x > y = 0 = a δηλαδή b > a , άτοπο.

'Eστω y \neq 0 τότε x = \frac{ab}{y} και y^6 - (a^3+b^3)y^3 + (ab)^3 = 0 ή (y^3 - a^3)(y^3 - b^3) = 0 \Leftrightarrow y = a ~or~ y = b

* Αν y = a τότε x = b και b = x > y = a δηλ b > a άτοπο.

* Αν y = b τότε x = a .

Οι λύσεις μας επαληθεύουν τα δεδομένα.

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 11, 2012 11:46 am
από p_gianno
Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Αν x,y,a,b είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

x^3+y^3=a^3+b^3 (1)
x\cdot y=a\cdot b (2)
\displaystyle{x>y} και a>b (3)
να αποδείξετε ότι x=a και y=b.
Μια παρόμοια λύση.

1) Για a ,y διάφορα του μηδενός έχουμε
xy=ab \rightarrow \frac{x}{a}=\frac{b}{y}=t \rightarrow (x=at \wedge y=bt)
αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε
a^3t^3+y^3=a^3+b^3t^3 \leftrightarrow a^3(t^3-1)=b^3(t^3-1) \leftrightarrow (t^3-1)(a^3-b^3)=0 \leftrightarrow (t=1 \vee a=b)
Λόγω (3) απορρίπτεται η λύση a=b ενώ για t=1 παίρνουμε x=a και y=b δηλ την ζητούμενη σχέση

2α) Αν τώρα είναι a=0 τότε xy=0 \leftrightarrow (x=0 \vee y=0)
αν x=0 τότε η (1) δίνει b=y και έχει καλώς
αν y=0 τότε η (1) δίνει b=x που είναι άτοπο αφού 0=a>b=x>y=0 λόγω της (3)

2β)Αν τώρα είναι y=0 τότε η αντιμετώπιση είναι παρόμοια με την περίπτωση 2α

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 11, 2012 3:40 pm
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Άσκηση 2η

Αν x,y,a,b είναι θετικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν

x^3+y^3=a^3+b^3

x^2+y^2=a^2+b^2

x>y και a>b

να αποδείξετε ότι x=a και y=b.

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 03, 2013 12:46 pm
από Παύλος Μαραγκουδάκης
H λύση της άσκησης 2 είναι εδώ.

Άσκηση 3

Αν x,y,z,a,b,c είναι πραγματικοί αριθμοί με x>y>z και a>b>c για τους οποίους ισχύουν

x+y+z=a+b+c

xyz=abc

x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2

τότε να αποδειχθούν:

1) \left(x-a \right)\left( x-b\right)\left(x-c \right)=0

2) x=a,y=b,z=c.

Re: Ισότητες και Ανισότητες δίνουν Ισότητες

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 27, 2020 7:17 pm
από socrates
Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2013 12:46 pm H λύση της άσκησης 2 είναι εδώ.

Άσκηση 3

Αν x,y,z,a,b,c είναι πραγματικοί αριθμοί με x>y>z και a>b>c για τους οποίους ισχύουν

x+y+z=a+b+c

xyz=abc

x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2

τότε να αποδειχθούν:

1) \left(x-a \right)\left( x-b\right)\left(x-c \right)=0

2) x=a,y=b,z=c.
Επαναφορά!
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+02:00
Σελίδα 1 από 1

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com