math_finder έγραψε:Καλησπέρα
Έπεσα σε ένα περιοδικό-φυλλάδιο με αντικείμενο θέματα μαθηματικών ολυμπιάδων και άλλων διαγωνισμών . Εκεί βρήκα ένα άρθρο ενός Κινέζου με τίτλο «χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη για να αποδείξεις ανισώσεις».
<...>
Το 'μυστικό' είναι να βρείς την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο που ικανοποιείται η περίπτωση της ισότητας. Εδώ η ισότητα πραγματοποιείται όταν a=b=c=1
Πραγματικά, η τεχνική που περιγράφεις είναι η περίφημη "tangent method". Παλιά αγαπημένη σε προβλήματα ανισώσεων σε επίπεδο Ολυμπιάδων. Την δίδασκα όταν κάποτε έκανα προπόνηση στα παιδιά της Εθνικής μας ομάδας στην προετοιμασία τους για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα και λοιπά.
Επειδή η τεχνική δεν είναι τόσο γνωστή, ας την αναλύσω λίγο με χρήση ενός παραδείγματος.
Κλασικό παράδειγμα εφαρμογής της "tangent method" είναι στην ανίσωση Nesbitt που λέει ότι αν a, b, c >0 τότε
.
Απόδειξη. Λόγω ομογένειας (πολλαπλασιάζοντας τα a, b, c επί σταθερά, αν χρειαστεί) μπορούμε να υποθέσουμε
ότι a + b + c = 1 και άρα 0 < a, b, c < 1. Οπότε η ζητούμενη γράφεται
.
Τώρα τα μάγια (ερμηνεία παρακάτω). Εύκολα ελέγχουμε ότι ισχύει
στο (0, 1). (*)
( o έλεγχος είναι απλός. Ανάγεται στην
αλλά το ερώτημα είναι
πώς το σκεφτήκαμε!) (**)
Έτσι έχουμε
Προσθέτoντας κατά μέλη και χρησιμοπoιώντας την a+b+c= 1 , έπεται αμέσως το ζητούμενο!
Βέβαια, όλο το μυστικό είναι πως σκέφτηκε κανείς την (*).
Απλούστατα παρατηρούμε ότι η ανίσωση μετατρέπεται σε ισότητα αν a = b = c = 1/3. Φυλάμε αυτη την πληροφορία.
Επίσης η εφαπτομένη στο σημείο χ = 1/3, y = ... της καμπύλης
είναι (απλό) η
.
Το σημαντικό είναι ότι η εν λόγω εφαπτομένη
έχει την καμπύλη από την μία πλευρά της.
Αυτό είναι το μυστικό.
Το ότι η παραπάνω καμπύλη είναι από την μία πλευρά της εν λόγω εφαπτομένης είναι διαισθητικά φανερό,
αν κανείς κάνει ένα σχήμα. Πάντως η απόδειξη (**) παραπάνω, αυτό ακριβώς λέει.
Θα ρωτήσει κανείς, και που ξέρω ότι η προς απόδειξη ανίσωση (*) θα με οδηγήσει σε τέλειο τετράγωνο όπως έγινε στο (**) ;
Η αιτία αυτού του φαινομένου είναι ο βαθύτερος λόγος για τον οποίο λειτουργεί η "tangent method". Συγκεκριμένα:
Όταν διώξουμε τους παρονομαστές στην (*) αυτό που θα βρούμε έχει σίγουρα παράγοντα το x - 1/3
διότι τόσο η καμπύλη όσο και η εφαπτομένη της περνάνε από το ίδιο σημείο x = 1/3. Έτσι το (x-1/3) (ή τα σταθερά του πολλαπλάσια όπως το 3x-1)
είναι παράγοντας του πολυωνύμου που προκύπτει.
Αλλα δεν φτάνει αυτό. Άλλωστε δεν δικαιολογεί γιατί βρήκαμε τον
θετικό παράγοντα
.
Η ερηνεία είναι ότι στα σημεία επαφής έχουμε
διπλή ρίζα. Οπότε
ξέρουμε εκ των προτέρων ότι θα έχουμε παράγοντα τον
, και τα μάγια λύθηκαν.
Ελπίζω να την απολαύσατε.
Και μία παράκληση στον Πάνο (math-finder): Που θα βρούμε το άρθρο του Κινέζου; Υποθέτω ότι είναι στα Αγγλικά, αλλιώς .... βράστα. Θα μας είναι στη κυριολεξία "κινέζικα".
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
ώστε 
ν.δ.ο 
(οπότε φανερά ισχύει και η δοσμένη) αφού λόγω της σχέσης 
ή απλούστερα :
μεγιστοποιεί (majorizes) την τριάδα 
α+β+γ, οπότε οι δύο όροι στο αριστερό μέλος "τραβάνε ανάποδα ο ένας τον άλλο" ως προς το δεξί μέλος. Άρα αναμένεται δυσκολία. Γι 'αυτό ζητά ο Αλέξανδρος διευκρίνηση, πριν από την βουτιά στα δύσκολα...
και κυκλικά (με διάκριση περιπτώσεων 
και 
). Στο τέλος κάνουμε πρόσθεση κατά μέλη.
και αν αυτή έχει ελάχιστο για κάποια τιμή του k, να πάρουμε τις σχέσεις : 
κλπ.
. Εχουμε: 
αρα ![2(a^3 + b^3 + c^3) + 6 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(a + b + c) \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) + a + b + c + 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow 2(a^3 + b^3 + c^3) + 3 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) + a + b + c](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ab36c06133f3c0d86d29e46d1d1894e4.png "2(a^3 + b^3 + c^3) + 6 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(a + b + c) \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) + a + b + c + 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow 2(a^3 + b^3 + c^3) + 3 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2) + a + b + c")
. 
ειναι θετικοι, προφανος ισχυει και η ιδια με 
στο δεξι μελος...
χ-2 . 
![\begin{array}{l}
\\
\left[ \begin{array}{l}
2a^3 - 2a^2 - 2a + 2 \ge 0 \\
2b^3 - 2b^2 - 2b + 2 \ge 0 \\
2c^3 - 2c^2 - 2c + 2 \ge 0 \\
\end{array} \right] \to 2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) - 2(a^2 + b^2 + c^2 ) - 2\left( {a + b + c} \right) + 6 \ge 0 \to \\
\to 2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) + 3 \ge 2(a^2 + b^2 + c^2 ) + 2\left( {a + b + c} \right) - 3 \to \\
\to 2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) + 3 \ge 2(a^2 + b^2 + c^2 ) + \left( {a + b + c} \right) + \underbrace {\left( {a + b + c} \right) - 3}_{a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} = 3} \to \\
2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) + 3 \ge 2(a^2 + b^2 + c^2 ) + \left( {a + b + c} \right) \\
\end{array}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0640f56819885d3c31230e091b1f3e28.png "\begin{array}{l}
\\
\left[ \begin{array}{l}
2a^3 - 2a^2 - 2a + 2 \ge 0 \\
2b^3 - 2b^2 - 2b + 2 \ge 0 \\
2c^3 - 2c^2 - 2c + 2 \ge 0 \\
\end{array} \right] \to 2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) - 2(a^2 + b^2 + c^2 ) - 2\left( {a + b + c} \right) + 6 \ge 0 \to \\
\to 2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) + 3 \ge 2(a^2 + b^2 + c^2 ) + 2\left( {a + b + c} \right) - 3 \to \\
\to 2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) + 3 \ge 2(a^2 + b^2 + c^2 ) + \left( {a + b + c} \right) + \underbrace {\left( {a + b + c} \right) - 3}_{a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} = 3} \to \\
2\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) + 3 \ge 2(a^2 + b^2 + c^2 ) + \left( {a + b + c} \right) \\
\end{array}")
. Η δεύτερη παράγωγος είναι 
, άρα η f είναι κυρτή στο διάστημα 
. Άρα, για 
με 
και η f είναι αύξουσα για 
.]
) βρίσκεται κάτω από την συνάρτηση στο διάστημα που μας ενδιαφέρει."
και προσθέτωντας κυκλικά λαμβάνουμε ότι 
(το οποίο είναι και αυτό που προέκυψε στη λύση του Νίκου. Η τελευταία ανισότητα προκύπτει εύκολα απ' την 
που ισχύει 
προκύπτει κι άμεσα από Muirhead ή από AM-GM, με 
και προσθέτοντας κυκλικά!)
θα βάλω τη λύση μου με αυτό .
. Τότε 
παρουσιάζει ελάχιστο στο 1 . Άρα 
άρα 
έχουμε τη ζητούμενη ! 