mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 28, 2012 3:10 pm**

Να δειχθεί η αλήθεια της παρακάτω πρότασης:

«Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων πλήρους τετραπλεύρου βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία η οποία είναι ομοιόθετη της ευθείας Miquel του τετραπλεύρου αυτού κατά την ομοιοθεσία $(M, \frac{1}{2})$ όπου είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου»

Περιορισμός: για την απόδειξη της αλήθειας της παραπάνω πρότασης, να μη χρησιμοποιηθεί Τριγωνομετρία και Ανάλυση
Υπενθυμίσεις: α) η ευθεία αυτή των ορθοκέντρων είναι γνωστή σαν ευθεία του Steiner
β) η «ευθεία Miquel» του πλήρους τετραπλεύρου συμπίπτει με την «ευθεία Simson» αυτού
Γιάννης Κερασαρίδης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 28, 2012 4:34 pm**

Αρχίζει το Μαθηματικό Κελάηδημα του φίλου μου και Άριστου Γιάννη Κερασαρίδη που καλαηδούσε και στα πέτρινα χρόνια αντιστεκόμενος και με το κεφάλι πάντα ψηλά σαν Μαθηματικός, αγωνιστής και όχι μόνο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 28, 2012 5:43 pm**

ykerasar έγραψε:Να δειχθεί η αλήθεια της παρακάτω πρότασης:

«Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων πλήρους τετραπλεύρου βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία η οποία είναι ομοιόθετη της ευθείας Miquel του τετραπλεύρου αυτού κατά την ομοιοθεσία $(M, \frac{1}{2})$ όπου είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου»

Περιορισμός: για την απόδειξη της αλήθειας της παραπάνω πρότασης, να μη χρησιμοποιηθεί Τριγωνομετρία και Ανάλυση
Υπενθυμίσεις: α) η ευθεία αυτή των ορθοκέντρων είναι γνωστή σαν ευθεία του Steiner
β) η «ευθεία Miquel» του πλήρους τετραπλεύρου συμπίπτει με την «ευθεία Simson» αυτού
Γιάννης Κερασαρίδης

Καλησπέρα Γιάννη
Ας μου επιτραπεί σαν το ελάχιστο ευχαριστώ για την προσφορά σου στα μαθηματικά

και όχι μόνο (όπως λέει και ο Σωτήρης) δρώμενα της πατρίδας να βάλω το σχήμα στο όμορφο θέμα που έχεις αναρτήσει.

: Στον Αγαπητό Γιάννη.png (63.24 KiB) Προβλήθηκε 2656 φορές

Με ΑΠΕΡΑΝΤΗ εκτίμηση

Στάθης.

Υ.Σ. Περιμένω με αγωνία και τα άλλα όμορφα που μου είπες στο τηλέφωνο

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 01, 2012 10:36 am**

Αγαπητοί φίλοι, το θέμα που πρότεινα προέρχεται από το προσωπικό μου αρχείο, το οποίο είναι τόσο παλιό όσο κι εγώ. Για το λόγο αυτό δεν θυμάμαι από ποιο βιβλίο το πήρα.
Πρέπει να ευχαριστήσω τους σπουδαίους μαθηματικούς Λουρίδα και Κούτρα για τα καλά τους λόγια. Είναι πολύ ευγενικό από μέρους τους. Ευχαριστώ και τους φίλους που προτίμησαν να ακολουθήσουν το δρόμο των mails.
Στο σημείο αυτό οφείλω μια σημαντική διευκρίνιση. Τη χρυσή εποχή της Γεωμετρίας (Φροντιστήρια, Δημόσια και Ιδιωτική Εκπαίδευση) κατά τη δαπραγμάτευση ενός θέματος Ευκλείδειας Γεωμετρίας, απαγορευόταν η χρήση της Τριγωνομετρίας, της Ανάλυσης ή της Αναλυτικής Γεωμετρίας.
Εδώ σημειώνω πως από πολύ καιρό ο Γρηγόρης Αλτιμήσης (ο μεγαλύτερος εν ζωή Έλληνας Γεωμέτρης) μου έδωσε μια απόδειξη του "Θεωρήματος Βήτα" (του εξίσου σπουδαίου Γεωμέτρη Κώστα Βήτα) και πολύ σύντομα θα τη δώσω στη δημοσιότητα (mathematica.gr).

Προς το παρόν δίνω μια απόδειξη της άσκησης που πρότεινα.

Η εκφώνηση
Να δειχθεί η αλήθεια της παρακάτω πρότασης:
«Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων πλήρους τετραπλεύρου βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία η οποία είναι ομοιόθετη της ευθείας Miquel του τετραπλεύρου αυτού κατά την ομοιοθεσία $\displaystyle{\left( {M,\frac{1}{2}} \right)}$ , όπου Μ είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου»

Περιορισμός: για την απόδειξη της αλήθειας της παραπάνω πρότασης, να μη χρησιμοποιηθεί Τριγωνομετρία, Αναλυτική Γεωμετρία ή Ανάλυση
Συμβάσεις: α) η ευθεία αυτή των ορθοκέντρων είναι γνωστή σαν ευθεία του Steiner
β) η «ευθεία Miquel» του πλήρους τετραπλεύρου συμπίπτει με την «ευθεία Simson» αυτού.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Συμβάσεις: Θεωρούμε (σχήμα 1): 1. το πλήρες τετράπλευρο ΑΒΓΔ.ΕΖ, 2. το σημείο Μ Miquel του τετραπλεύρου, 3. Κ,Θ,Λ,Ν οι προβολές του Μ πάνω στις ΒΖ,ΑΖ,ΓΕ,ΒΕ αντίστοιχα, 4. $\displaystyle{\mathop H\nolimits_1 ,\mathop H\nolimits_2 ,\mathop H\nolimits_3 ,\mathop H\nolimits_4 }$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΔΕ, ΑΒΖ, ΒΓΕ, ΓΔΖ αντίστοιχα, 5. $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_1 } \right)}$ η ευθεία Steiner του τετραπλεύρου, 6. $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ η ευθεία Miquel (ή Simpson) του τετραπλεύρου.
Τεκμηρίωση: Το Μ ανήκει στην περιγεγραμμένη περιφέρεια περί το τρίγωνο ΑΔΕ, άρα οι προβολές του Θ,Λ,Ν στις πλευρές του ΑΔΕ βρίσκονται στην ίδια ευθεία (ευθεία Simpson τριγώνου). Δηλ., η $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ είναι ευθεία Simpson του τριγώνου ΑΔΕ. Για όμοιο λόγο η $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ είναι ευθεία Simson των τριγώνων ΑΒΖ, ΒΓΕ, ΓΔΖ.
Γνωρίζουμε ότι η ευθεία Simson κάθε τριγώνου διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα που έχει σαν άκρα το σημείο Μ και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν ονομάσουμε $\displaystyle{\mathop {\rm P}\nolimits_1 ,\mathop {\rm P}\nolimits_2 ,\mathop {\rm P}\nolimits_3 ,\mathop {\rm P}\nolimits_4 }$ τις τομές των $\displaystyle{\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_1 ,\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_2 ,\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_3 ,\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_4 }$ με την $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ ,
θα είναι $\displaystyle{\frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_1 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_1 } \right)}} = \frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_2 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_2 } \right)}} = \frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_3 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_3 } \right)}} = \frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_4 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_4 } \right)}} = \frac{1}{2}}$ άρα τα ορθόκεντρα $\displaystyle{\mathop H\nolimits_1 ,\mathop H\nolimits_2 ,\mathop H\nolimits_3 ,\mathop H\nolimits_4 }$ είναι ομοιόθετα των $\displaystyle{\mathop {\rm P}\nolimits_1 ,\mathop {\rm P}\nolimits_2 ,\mathop {\rm P}\nolimits_3 ,\mathop {\rm P}\nolimits_4 }$ κατά την ομοιοθεσία $\displaystyle{\left( {M,\frac{1}{2}} \right)}$ , και επειδή τα $\displaystyle{\mathop {\rm P}\nolimits_1 ,\mathop {\rm P}\nolimits_2 ,\mathop {\rm P}\nolimits_3 ,\mathop {\rm P}\nolimits_4 }$ βρίσκονται στην ευθεία $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ σημαίνει πως και τα ομοιόθετά τους $\displaystyle{\mathop H\nolimits_1 ,\mathop H\nolimits_2 ,\mathop H\nolimits_3 ,\mathop H\nolimits_4 }$ βρίσκονται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_1 } \right)}$ ομοιόθετη της $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 01, 2012 10:45 am**

ykerasar έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, το θέμα που πρότεινα προέρχεται από το προσωπικό μου αρχείο, το οποίο είναι τόσο παλιό όσο κι εγώ. Για το λόγο αυτό δεν θυμάμαι από ποιο βιβλίο το πήρα.
Πρέπει να ευχαριστήσω τους σπουδαίους μαθηματικούς Λουρίδα και Κούτρα για τα καλά τους λόγια. Είναι πολύ ευγενικό από μέρους τους. Ευχαριστώ και τους φίλους που προτίμησαν να ακολουθήσουν το δρόμο των mails.
Στο σημείο αυτό οφείλω μια σημαντική διευκρίνιση. Τη χρυσή εποχή της Γεωμετρίας (Φροντιστήρια, Δημόσια και Ιδιωτική Εκπαίδευση) κατά τη δαπραγμάτευση ενός θέματος Ευκλείδειας Γεωμετρίας, απαγορευόταν η χρήση της Τριγωνομετρίας, της Ανάλυσης ή της Αναλυτικής Γεωμετρίας.
Εδώ σημειώνω πως από πολύ καιρό ο Γρηγόρης Αλτιμήσης (ο μεγαλύτερος εν ζωή Έλληνας Γεωμέτρης) μου έδωσε μια απόδειξη του "Θεωρήματος Βήτα" (του εξίσου σπουδαίου Γεωμέτρη Κώστα Βήτα) και πολύ σύντομα θα τη δώσω στη δημοσιότητα (mathematica.gr).

Προς το παρόν δίνω μια απόδειξη της άσκησης που πρότεινα.

Η εκφώνηση
Να δειχθεί η αλήθεια της παρακάτω πρότασης:
«Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων πλήρους τετραπλεύρου βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία η οποία είναι ομοιόθετη της ευθείας Miquel του τετραπλεύρου αυτού κατά την ομοιοθεσία $\displaystyle{\left( {M,\frac{1}{2}} \right)}$ , όπου Μ είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου»

Περιορισμός: για την απόδειξη της αλήθειας της παραπάνω πρότασης, να μη χρησιμοποιηθεί Τριγωνομετρία, Αναλυτική Γεωμετρία ή Ανάλυση
Συμβάσεις: α) η ευθεία αυτή των ορθοκέντρων είναι γνωστή σαν ευθεία του Steiner
β) η «ευθεία Miquel» του πλήρους τετραπλεύρου συμπίπτει με την «ευθεία Simson» αυτού.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Συμβάσεις: Θεωρούμε (σχήμα 1): 1. το πλήρες τετράπλευρο ΑΒΓΔ.ΕΖ, 2. το σημείο Μ Miquel του τετραπλεύρου, 3. Κ,Θ,Λ,Ν οι προβολές του Μ πάνω στις ΒΖ,ΑΖ,ΓΕ,ΒΕ αντίστοιχα, 4. $\displaystyle{\mathop H\nolimits_1 ,\mathop H\nolimits_2 ,\mathop H\nolimits_3 ,\mathop H\nolimits_4 }$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΔΕ, ΑΒΖ, ΒΓΕ, ΓΔΖ αντίστοιχα, 5. $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_1 } \right)}$ η ευθεία Steiner του τετραπλεύρου, 6. $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ η ευθεία Miquel (ή Simpson) του τετραπλεύρου.
Τεκμηρίωση: Το Μ ανήκει στην περιγεγραμμένη περιφέρεια περί το τρίγωνο ΑΔΕ, άρα οι προβολές του Θ,Λ,Ν στις πλευρές του ΑΔΕ βρίσκονται στην ίδια ευθεία (ευθεία Simpson τριγώνου). Δηλ., η $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ είναι ευθεία Simpson του τριγώνου ΑΔΕ. Για όμοιο λόγο η $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ είναι ευθεία Simson των τριγώνων ΑΒΖ, ΒΓΕ, ΓΔΖ.
Γνωρίζουμε ότι η ευθεία Simson κάθε τριγώνου διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα που έχει σαν άκρα το σημείο Μ και το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Αν ονομάσουμε $\displaystyle{\mathop {\rm P}\nolimits_1 ,\mathop {\rm P}\nolimits_2 ,\mathop {\rm P}\nolimits_3 ,\mathop {\rm P}\nolimits_4 }$ τις τομές των $\displaystyle{\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_1 ,\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_2 ,\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_3 ,\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_4 }$ με την $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ ,
θα είναι $\displaystyle{\frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_1 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_1 } \right)}} = \frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_2 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_2 } \right)}} = \frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_3 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_3 } \right)}} = \frac{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm P}}\nolimits_4 } \right)}}{{\left( {\mathop {{\rm M}{\rm H}}\nolimits_4 } \right)}} = \frac{1}{2}}$ άρα τα ορθόκεντρα $\displaystyle{\mathop H\nolimits_1 ,\mathop H\nolimits_2 ,\mathop H\nolimits_3 ,\mathop H\nolimits_4 }$ είναι ομοιόθετα των $\displaystyle{\mathop {\rm P}\nolimits_1 ,\mathop {\rm P}\nolimits_2 ,\mathop {\rm P}\nolimits_3 ,\mathop {\rm P}\nolimits_4 }$ κατά την ομοιοθεσία $\displaystyle{\left( {M,\frac{1}{2}} \right)}$ , και επειδή τα $\displaystyle{\mathop {\rm P}\nolimits_1 ,\mathop {\rm P}\nolimits_2 ,\mathop {\rm P}\nolimits_3 ,\mathop {\rm P}\nolimits_4 }$ βρίσκονται στην ευθεία $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$ σημαίνει πως και τα ομοιόθετά τους $\displaystyle{\mathop H\nolimits_1 ,\mathop H\nolimits_2 ,\mathop H\nolimits_3 ,\mathop H\nolimits_4 }$ βρίσκονται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_1 } \right)}$ ομοιόθετη της $\displaystyle{\left( {\mathop \sigma \nolimits_2 } \right)}$

Ας δούμε και κάτι "παρόμοιο" εδώ: viewtopic.php?f=22&t=17080

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 10, 2012 11:47 pm**

Ας δούμε την απόδειξη της συγγραμμικότητας των ορθόκεντρων με προβολική γεωμετρία, (εκτός φακέλου), ώστε να τιμήσουμε τον "παλιό" γεωμέτρη Γιάννη Κερασαρίδη!!

Αρκεί να δείξουμε ότι τρία οποιοδήποτε από τα τέσσερα ορθόκεντρα είναι συνευθειακά. Θα εργαστούμε στο παραπάνω σχήμα του Γιάννη. Διαλέγουμε τα H_4, H_2, H_3

των τριγώνων $Z\Gamma \Delta , ZAB,\Gamma BE$ αντίστοιχα.

'Εστω

το σημείο στο άπειρο που τέμνονται τα ύψη που είναι κάθετα στην ευθεία $Z\Delta A$ και ομοίως $\Gamma ',B'$ αυτών που είναι κάθετα στις ευθείες $\Gamma \Delta E, BAE$ αντίστοιχα.

Τα σημεία $Z', \Gamma ',B'$ ανήκουν στην ευθεία στο άπειρο του μετασχηματισμού. Από το θεώρημα του Πάππου για τις ευθείες $Z' \Gamma 'B'$ και

$Z \Gamma B$ , τα σημεία τομής των ευθειών $\Gamma Z',Z \Gamma'$ και ZB',BZ'

και $B\Gamma',\Gamma B'$ , δηλαδή τα H_4, H_2, H_3

είναι συνευθειακά και η απόδειξη έγινε.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 11, 2012 8:46 pm**

Αγαπητέ Κώστα,
διάβασα την τοποθέτησή σου "πάνω στο πλήρες τετράπλευρο" και ομολογώ πως δεν εξαιρείται η οπτική της Προβολικής Γεωμετρίας απ' την αντιμετώπιση του θέματος. Σε ευχαριστώ για την προσφορά σου αυτή. Απόλαυσα την κομψότητα της απόδειξής σου.
Με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

mathematica.gr

πάνω στο πλήρες τετράπλευρο

πάνω στο πλήρες τετράπλευρο

Re: πάνω στο πλήρες τετράπλευρο

Re: πάνω στο πλήρες τετράπλευρο

Re: πάνω στο πλήρες τετράπλευρο

Re: πάνω στο πλήρες τετράπλευρο

Re: πάνω στο πλήρες τετράπλευρο

Re: πάνω στο πλήρες τετράπλευρο