mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 2:05 pm**

Είμαι χαρούμενος που στο forum συμμετέχουν μαθητές που μόνοι τους ζητούν να δημοσιεύουμε ασκήσεις σε σχολικό επίπεδο για αυτούς.
Έτσι, μετά από μήνυμα μαθητή, ξεκινώ την δημοσίευση με ασκήσεις γεωμετρίας (σε όλη την ύλη) για την Α΄Λυκειου.Θα παρακαλούσα και άλλα μέλη να προτείνουν στην παρούσα δημοσίευση ασκήσεις για τους μικρούς και υπέροχους μαθητές μας.

Επειδή η συλλογή απευθύνεται κυρίως σε μαθητές ή συναδέλφους που θέλουν να οργανώσουν την επανάληψη για τις εξετάσεις, θα πρότεινα ευγενικά τους θεματοδότες, όπου αυτό είναι δυνατόν, να δίνουν τα ζητούμενα σε μορφή ερωτημάτων, όπως περίπου στις εξετάσεις.

Φυσικά, υπάρχουν και πολλές ωραίες ασκήσεις που αν κάποιος τις τεμαχίσει, χάνουν τη γοητεία τους, είτε διότι πρέπει να δοθεί η βοηθητική γραμμή, είτε διότι πρέπει να υποδειχθεί η κατεύθυνση για τη λύση τους . Αυτές λοιπόν τις ασκήσεις ας τις αφήσουμε με ένα ερώτημα, όπως κάναμε παλιότερα και στις εξετάσεις στα σχολεία.

Ως κριτήριο για την επιλογή των ασκήσεων ας έχουμε αυτό το ερώτημα :

'' Θα την έκανα αυτή την άσκηση σε ένα μαθητή μου που πάει για τις εξετάσεις, αν είναι μέτριος και πάνω ; ''

Άσκηση 1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\text{AB}\Gamma }$ με $\displaystyle{\text{B}\Gamma =2\text{AB}}$ και $\displaystyle{\text{AM}}$ η διάμεσος του. Ονομάζουμε $\displaystyle{\text{K}}$ το μέσο του $\displaystyle{\text{BM}}$ και έστω $\displaystyle{\Lambda }$ το μέσο της πλευράς $\displaystyle{\text{AB}}$ .

i. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\Lambda \widehat{\text{M}}\text{A}=\text{M}\widehat{\text{A}}\Gamma }$

ii. Αν $\displaystyle{\Theta }$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{\text{AK},\text{M}\Lambda }$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\text{A}\Theta =2\Theta \text{K}}$

iii. Η $\displaystyle{\text{AM}}$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\text{K}\widehat{\text{A}}\Gamma }$

: ασκηση 1.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 4812 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 4:41 pm**

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Άσκηση 1
Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\text{AB}\Gamma }$ με $\displaystyle{\text{B}\Gamma =2\text{AB}}$ και $\displaystyle{\text{AM}}$ η διάμεσος του. Ονομάζουμε $\displaystyle{\text{K}}$ το μέσο του $\displaystyle{\text{BM}}$ και έστω $\displaystyle{\Lambda }$ το μέσο της πλευράς $\displaystyle{\text{AB}}$ .

i. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\Lambda \widehat{\text{M}}\text{A}=\text{M}\widehat{\text{A}}\Gamma }$

ii. Αν $\displaystyle{\Theta }$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{\text{AK},\text{M}\Lambda }$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\text{A}\Theta =2\Theta \text{K}}$

iii. Η $\displaystyle{\text{AM}}$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\text{K}\widehat{\text{A}}\Gamma }$
ασκηση 1.png

edit
πρόσθεσα την εκφώνηση της άσκησης
παρακαλώ οι απαντήσεις να είναι γραμμένες σε LaTeX

και ο mathlete23 να διορθώσει τη δημοσίευσή του

Φωτεινή

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 5:00 pm**

Άσκηση 2

Δίνεται ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ και πάνω στην $\displaystyle{(\varepsilon )}$ τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 2\alpha }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = \alpha }$ .
Προς το ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ θεωρούμε τα ισόπλευρα τριγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm E}}$ . Φέρνουμε την $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{(\varepsilon )}$ στο $\displaystyle{{\rm Z}}$ .
Επίσης, φέρνουμε το ύψος $\displaystyle{{\rm B}{\rm H} \bot \Delta {\rm A}}$

Να αποδείξετε οτι:
i. $\displaystyle{{\rm B}{\rm E}//{\rm A}\Delta }$

ii. $\displaystyle{\Delta {\rm H}{\rm B}{\rm E}}$ ορθογώνιο

iii. $\displaystyle{{\rm B}}$ μέσο της $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z}}$

: ask2.png (4.6 KiB) Προβλήθηκε 4757 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 5:14 pm**

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Άσκηση 1
Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\text{AB}\Gamma }$ με $\displaystyle{\text{B}\Gamma =2\text{AB}}$ και $\displaystyle{\text{AM}}$ η διάμεσος του. Ονομάζουμε $\displaystyle{\text{K}}$ το μέσο του $\displaystyle{\text{BM}}$ και έστω $\displaystyle{\Lambda }$ το μέσο της πλευράς $\displaystyle{\text{AB}}$ .

i. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\Lambda \widehat{\text{M}}\text{A}=\text{M}\widehat{\text{A}}\Gamma }$

ii. Αν $\displaystyle{\Theta }$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{\text{AK},\text{M}\Lambda }$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\text{A}\Theta =2\Theta \text{K}}$

iii. Η $\displaystyle{\text{AM}}$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\text{K}\widehat{\text{A}}\Gamma }$
ασκηση 1.png

i) $\left.\begin{matrix} \Lambda \; \mu \acute{\varepsilon }\sigma o\; \tau o\upsilon \; AB\\ M \; \mu \acute{\varepsilon }\sigma o \; \tau o\upsilon \; B\Gamma \end{matrix}\right\} \Rightarrow \Lambda M\parallel A\Gamma \Rightarrow \boxed{\Lambda \hat{M}A=M\hat{A}\Gamma} \; \left ( \varepsilon \nu \tau \acute{o}\varsigma \; \varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \acute{\alpha } \xi \; \mu \varepsilon \; \tau \acute{\varepsilon }\mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \; \tau \eta \nu \; AM\right )$

ii) $AK, \; M\Lambda \; \delta \iota \acute{\alpha }\mu \varepsilon \sigma o\iota \; \sigma \tau o \; \overset{\bigtriangleup }{ABM}\Rightarrow \Theta \; \beta \alpha \rho \acute{\upsilon }\kappa \varepsilon \nu \tau \rho o\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A\Theta =\frac{2}{3} \cdot AK\\ \Theta K=\frac{1}{3} \cdot AK \end{matrix}\right. \Rightarrow$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AK=\frac{3}{2} \cdot A\Theta \\ AK=3 \cdot \Theta K \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{3}{2} \cdot A\Theta =3 \cdot \Theta K\Rightarrow \boxed{A\Theta =2 \cdot \Theta K}$

iii) $E\acute{\iota }\nu \alpha \iota \; \overset{\bigtriangleup }{AKM}=\overset{\bigtriangleup }{AM\Lambda } \; \alpha \varphi o\acute{\upsilon }: \; \begin{Bmatrix} 1) \; KM=A\Lambda \; \left ( \mu \iota \sigma \acute{\alpha } \; \acute{\iota }\sigma \omega \nu \; \varepsilon \upsilon \vartheta \upsilon \gamma \rho \acute{\alpha }\mu \mu \omega \nu \; \tau \mu \eta \mu \acute{\alpha }\tau \omega \nu \right )\\ 2) \; A\hat{M}K=\Lambda \hat{A}M \; \left [ \overset{\bigtriangleup }{ABM} \; \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \acute{\varepsilon }\varsigma \; \left ( AB=BM\Leftarrow B\Gamma =2 \cdot AB \right ) \right ]\\ 3)AM \; \kappa o\iota \nu \acute{\eta } \end{Bmatrix}\Rightarrow$
$\Rightarrow \left ( \Pi -\Gamma -\Pi \right )\Rightarrow A\hat{M}\Lambda =K\hat{A}M.$

$A\lambda \lambda \acute{\alpha } \; \kappa \alpha \iota \; A\hat{M}\Lambda =M\hat{A}\Gamma , \; \acute{\alpha }\rho \alpha \; M\hat{A}\Gamma=K\hat{A}M\Rightarrow \boxed{AM \; \delta \iota \chi o\tau \acute{o} \mu o\varsigma \; \tau \eta \varsigma \; K\hat{A}\Gamma }.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 5:22 pm**

Άσκηση 3

Αν σε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ ισχύουν a=2c

και $\hat B=2\hat C$ ,να αποδείξετε ότι είναι ορθογώνιο

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 5:35 pm**

Άσκηση 4

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC,~~\hat A=120^o$ και AD,BE,CZ

είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του .

Να αποδείξετε ότι : $E\hat DZ=90^o$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 6:03 pm**

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Άσκηση 2

Δίνεται ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ και πάνω στην $\displaystyle{(\varepsilon )}$ τα σημεία $\displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 2\alpha }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = \alpha }$ .
Προς το ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ θεωρούμε τα ισόπλευρα τριγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm E}}$ . Φέρνουμε την $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$ , η οποία τέμνει την $\displaystyle{(\varepsilon )}$ στο $\displaystyle{{\rm Z}}$ .
Επίσης, φέρνουμε το ύψος $\displaystyle{{\rm B}{\rm H} \bot \Delta {\rm A}}$

Να αποδείξετε οτι:
i. $\displaystyle{{\rm B}{\rm E}//{\rm A}\Delta }$

ii. $\displaystyle{\Delta {\rm H}{\rm B}{\rm E}}$ ορθογώνιο

iii. $\displaystyle{{\rm B}}$ μέσο της $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z}}$

ask2.png

i) $A\hat{\Delta }B=A\hat{B}\Delta =60^{\circ} \; \left ( \overset{\bigtriangleup }{A\Delta B} \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o \right )$
$E\hat{B}\Gamma =60^{\circ} \; \left ( \overset{\bigtriangleup }{EB\Gamma } \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\right )$

$'A\rho \alpha \; \kappa \alpha \iota \; \Delta \hat{B}E=60^{\circ}.$

$E\acute{\iota }\nu \alpha \iota \; \tau \varepsilon \lambda \iota \kappa \acute{\alpha }: \; A\hat{\Delta }B=\Delta \hat{B}E=60^{\circ} \; \left ( \acute{\iota }\sigma \varepsilon \varsigma \; \varepsilon \nu \tau \acute{o}\varsigma \; \varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \acute{\alpha }\xi \; \gamma \omega \nu \acute{\iota }\varepsilon \varsigma \right ) \Rightarrow$
$\Rightarrow \boxed{A\Delta \parallel BE}$

ii) $\overset{\bigtriangleup }{AB\Delta } \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\Rightarrow BH \; \delta \iota \acute{\alpha }\mu \varepsilon \sigma o\varsigma \Rightarrow \Delta H=\frac{A\Delta }{2}\Rightarrow \Delta H=BE$

$A\lambda \lambda \acute{\alpha } \; \kappa \alpha \iota \; \Delta H\parallel BE, \; o\pi \acute{o}\tau \varepsilon \; \Delta H\parallel =BE\Rightarrow \Delta HBE \; \pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda \acute{o}\gamma \rho \alpha \mu \mu o$

$'O\mu \omega \varsigma \; B\hat{H}\Delta =90^{\circ}\Rightarrow \boxed{\Delta HBE \; o\rho \vartheta o\gamma \acute{\omega }\nu \iota o}$

iii) $\Delta HBE \; o\rho \vartheta o\gamma \acute{\omega }\nu \iota o\Rightarrow B\hat{E}\Delta =90^{\circ}\Rightarrow B\hat{E}Z=90^{\circ}\Rightarrow B\hat{E}\Gamma +\Gamma \hat{E}Z=90^{\circ}\Rightarrow$
$\Rightarrow 60^{\circ}+\Gamma \hat{E}Z=90^{\circ}\Rightarrow \Gamma \hat{E}Z=30^{\circ}$

$E\pi \acute{\iota }\sigma \eta \varsigma \; B\hat{\Gamma }E =60^{\circ} \; \left ( \overset{\bigtriangleup }{EB\Gamma } \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\right )\Rightarrow E\hat{\Gamma }Z=120^{\circ}$
$O\pi \acute{o}\tau \varepsilon \; \Gamma \hat{Z}E=30^{\circ}$
$E\pi o\mu \acute{\varepsilon }\nu \omega \varsigma \; E\hat{\Gamma }Z \; \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \acute{\varepsilon }\varsigma \; \mu \varepsilon \; E\Gamma =\Gamma Z\Rightarrow B\Gamma =\Gamma Z$

$B\Gamma +\Gamma Z=2\alpha =AB, \; \delta \eta \lambda \alpha \delta \acute{\eta } \; \boxed{B \; \mu \acute{\varepsilon }\sigma o \; \tau o\upsilon \; AZ}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 6:20 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 08, 2012 11:09 pm**

Δίνω και γω μια άσκηση στην ωραία αυτή πρωτοβουλία του Δημήτρη.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Στην πλευρά

ισόπλευρου τριγώνου ABC

παίρνουμε σημείο

.Η διχοτόμος της γωνίας ABD

τέμνει την παράλληλη από το

προς την

στο σημείο

. Στην προέκταση της

παίρνουμε τμήμα CZ=AE

.Να αποδείξετε ότι :

α) Τα τρίγωνα ABE,BCZ

είναι ίσα.

β) Η γωνία EBZ

είναι ίση με 60^0

.

γ)

δ) Το τρίγωνο BEZ

είναι ισόπλευρο.

ε) ZA=AE+AB

στ) Τα σημεία A,E,Z,B

είναι ομοκυκλικά.

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 12:41 am**

Άσκηση 6
Στις πλευρές AB , AC

του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , παίρνω τμήματα AS=x

και

.

Οι προβολές P , Q

των σημείων S , T

επί της

, δημιουργούν το τμήμα PQ=z

.

Δείξτε ότι το

είναι ο αριθμητικός μέσος των

και

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 1:00 am**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνω και γω μια άσκηση στην ωραία αυτή πρωτοβουλία του Δημήτρη.

ΑΣΚΗΣΗ 5

(...) Στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα . (...)

Προς το μέρος του

ή του

;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 1:27 am**

Η διατύπωση

στην προέκταση της $\displaystyle{AC}$

σημαίνει προς το μέρος του $\displaystyle{C}$

Εκτός κι αν αναφέρεται κάτι διαφορετικό στην εκφώνηση,
δεχόμαστε πως προεκτείνουμε στην κατεύθυνση του δεύτερου γράμματος όταν προεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 2:40 am**

Δίνω μια έμπνευση μου, αν και λίγο πολύ μάλλον "τετριμμένη", κατάλληλη για εξετάσεις.....

Αποσύρθηκε η άσκηση 7 λόγω λάθους

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 8:48 am**

Άσκηση 8
Ρόμβος ABCD

, έχει $\widehat {A}=30^0$ . Σχεδιάζω στο εξωτερικό του το ισόπλευρο τρίγωνο ABE

.

Φέρω την

και την

, η οποία τέμνει την προέκταση της

στο

.

1) Δείξτε ότι η

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {CED}$

2) Δείξτε ότι : $\displaystyle CZ=\frac{DE}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 12:07 pm**

KARKAR έγραψε:Άσκηση 8
Ρόμβος , έχει $\widehat {A}=30^0$ . Σχεδιάζω στο εξωτερικό του το ισόπλευρο τρίγωνο .

Φέρω την και την , η οποία τέμνει την προέκταση της στο .

1) Δείξτε ότι η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {CED}$

2) Δείξτε ότι : $\displaystyle CZ=\frac{DE}{2}$

1)Λόγω του κύκλου (A,AD)

είναι $\angle DEB=DAB/2=15$ .
Λόγω της παραλληλίας είναι $CB\perp AE$ και έστω

το σημείο τομής της

με τη

.Το

είναι προφανώς το μέσο της

.
$\angle CAB=15$ (προφανές λόγω της διαγωνίου). $\vartriangle CBA=CBE$ (αφού το

ανήκει στη μεσοκάθετο του

).Από αυτή την ισότητα έχουμε $\angle CEB=15$ .Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

2)Είναι προφανές ότι $\angle BCE=15$ (γιατί ΒC=BE) και $\angle ZAZ'=15$ (αφού Z' μέσο της DE και γων.DAB=30).Το τετράπλευρο ACZZ'

είναι εγγράψιμο(από τις 2 ισότητες πάνω) άρα $\angle Z'ZA=ACB=15$ άρα το τρίγωνο $\vartriangle AZ'Z$ είναι ισοσκελές.
Επομένως DE/2=DZ'=AZ'=Z'Z=CZ

(γιατί $\angle CZ'Z=15$ λόγω του εγγραψίμου=>το τρίγωνο CZZ' είναι ισοσκελές).

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 12:36 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 2:31 pm**

Άσκηση 9
Θεωρούμε τραπέζιο ABCD

με $AD\parallel BC$ και AD>BC.

Έστω

το μέσο της διαγωνίου

και

το ίχνος της καθέτου από το

στην

Να δείξετε ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν το συμμετρικό του

ως προς το

και το συμμετρικό του

ως προς το

συμπίπτουν.

Άσκηση 10
Στις κάθετες πλευρές

και

ορθογωνίου τριγώνου ABC

κατασκευάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα ABDE

και

Αν $\displaystyle{DC \cap AB = \{U \}, \ BF \cap AC =\{V \}, \ UV \cap BD = \{P\}, \ UV \cap CF = \{Q\},}$ να δείξετε ότι DF = PQ +UV.

Άσκηση 11
Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

τριγώνου

και οι

διχοτόμοι των γωνιών $\angle ADB ,\ \angle CDB ,$ αντίστοιχα.
Αν $EF \cap DB = \{M\} ,$ να δείξετε ότι EF = 2 DM .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 6:07 pm**

socrates έγραψε: Άσκηση 10
Στις κάθετες πλευρές και ορθογωνίου τριγώνου κατασκευάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα και
Αν $\displaystyle{DC \cap AB = \{U \}, \ BF \cap AC =\{V \}, \ UV \cap BD = \{P\}, \ UV \cap CF = \{Q\},}$ να δείξετε ότι

Για τη 10:Μια λύση με ύλη πιο πολύ για τη Β'Λυκείου(αλλά με πράγματα γνωστά από το γυμνάσιο)
Από το θεώρημα Θαλή: $\frac{UA}{DE}=\frac{CA}{CE}$ και $\frac{AV}{GF}=\frac{BA}{BG}$ .Με διαίρεση κατά μέλη είναι UA=AV

.
Τα σημεία D,A,F

είναι συνευθειακά.Εύκολα βρίσκουμε ότι PQ//DF

(αφού γων. QVC=FAC=45).
Θέτουμε: CV=CQ=b

,

,

.
Από το Π.Θ βρίσκουμε: $UV=a\sqrt{2},DA=(a+c)\sqrt{2},AF=(a+b)\sqrt{2},PU=c\sqrt{2},VQ=b\sqrt{2}$ .
Νομίζω τώρα είναι προφανές.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 7:35 pm**

Μετέφερα την άσκηση σε άλλο φάκελλο

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 8:08 pm**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12:

Θεωρούμε ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση . Έστω σημείο της πλευράς , το μέσον της και ένα σημείο της πλευράς τέτοιο, ώστε να είναι:
$MB^{2}=DB.EC$ . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.

Αν δεν κάνω λάθος, οι Αναλογίες και η Ομοιότητα δεν είναι στην ύλη της Α' Λυκείου...

mathematica.gr

Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου