mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 1:50 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 2:22 pm**

orestisgotsis έγραψε:Α) Δίνεται η συνάρτηση $f:{{\mathbb{R}}^{*}}\to {{\mathbb{R}}^{*}}$ για την οποία ισχύει:

$5f\left( f(x) \right)={{x}^{5}}f(x)+4f\left( f(1) \right)$ για κάθε $x\in {{\mathbb{R}}^{*}}$ .

(i) Να αποδειχθεί ότι η είναι .

(ii) Να βρεθεί η τιμή .

(i) Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι $\displaystyle{1-1}$ , υποθέτουμε ότι $\displaystyle{f(x) = f(y)}$ και θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{x=y}$ .

$\displaystyle{f(x)=f(y) \implies f(f(x)) = f(f(y)) \implies 5 f(f(x)) = 5f(f(y)) \implies x^5f(x)+4f(f(1)) = y^5f(y)+4f(f(1)) \implies x^5 f(x) = y^5 f(y)}$

$\displaystyle{ \overset{f(x) = f(y)}{\implies}x^5f(x)=y^5f(x) \overset{f(x) \ne 0}{\implies} x^5=y^5 \implies x=y}$

(ii) Θέτοντας $\displaystyle{x=1}$ στην αρχική έχουμε: $\displaystyle{5f(f(1))=f(1)+4f(f(1)) \implies f(f(1)) = f(1) \overset {f=1-1}{\implies}f(1) =1.}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 09, 2012 11:01 pm**

orestisgotsis έγραψε:
Β) Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\ln x-x-1,\,\,\,\,\,x>0$ .

(i) Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία.

(ii) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: ${{x}^{x}}>{{e}^{x-1}}$

Πολύ κλασσική άσκηση. Δίνω μια απάντηση στα σύντομα.

Είναι: $\displaystyle{f'(x)=lnx}$
$\displaystyle{f'(x)\geq0\Leftrightarrow lnx\geq0\Leftrightarrow x\geq 1}$
$\displaystyle{f'(x)<0\Leftrightarrow lnx<0\Leftrightarrow 0<x<1}$
Άρα

γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ και γνησίως φθίνουσα στο (0,1]

Παρουσιάζει ελάχιστο στο x=1

τo

$\displaystyle{\forall x>0, f(x)\geq -2\Leftrightarrow xlnx-x-1\geq -2 \Leftrightarrow lnx^x\geq x-1 \Leftrightarrow x^x \geq e^{x-1}}$

mathematica.gr

Ένα προς ένα και μονοτονία

Ένα προς ένα και μονοτονία

Re: Ένα προς ένα και μονοτονία

Re: Ένα προς ένα και μονοτονία