mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 14, 2012 12:53 am**

Υπάρχουν πραγματικά πολυώνυμα που να είναι περιοδικά;
Δηλαδή $\exists T>0 : p(x+T) = p(x) , \forall x \in \mathbb{R}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 14, 2012 8:54 am**

Kάθε σταθερή πολυωνυμική συνάρτηση P(x)

είναι περιοδική.
Και αυτό επειδή η πραγματική πολυωνυμική συνάρτηση $f:R\rightarrow R,\; f(x)=P(x)-a_0$ , με την υπόθεση ότι είναι περιοδική, μηδενίζεται για τουλάχιστον n+1

τιμές του

, αν έχουμε το πολυώνυμο $P(x)\;n$ βαθμού και a_0

είναι ο σταθερός όρος του πολυωνύμου αυτού.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 17, 2012 8:35 pm**

Παρόμοια με την αντιμετώπιση του συνονόματου Σωτήρη (Λουρίδα) :

Έστω το πολυώνυμο : $p(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ με περίοδο τον αριθμό

.
Τότε θα ισχύει ότι : $p(x+T) = p(x), \forall x \in \mathbb{R}$
Ισοδύναμα : $p(x+T) - p(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$
$a_n(x+T)^n - a_n x^n + \ldots =0, \forall x \in \mathbb{R}$
$a_n \left{ (x+T-x)(x^{n-1} + x^{n-2} (x+T)+ \ldots + (x+T)^{n-1}) \right}+ ldots = 0 , \forall x \in \mathbb{R}$
$a_n T (x^{n-1} + x^{n-2} (x+T)+ \ldots + (x+T)^{n-1}) + ldots = 0 , \forall x \in \mathbb{R}$
$(a_n T n x^{n-1} + \ldots )+ \ldots = 0 , \forall x \in \mathbb{R}$
Απ' όπου προκύπτει , εφόσον $a_n \neq 0, T \neq 0$ ότι n=0

δηλαδή το πολυώνυμο είναι σταθερό.

mathematica.gr

Περιοδικά Πολυώνυμα

Περιοδικά Πολυώνυμα

Re: Περιοδικά Πολυώνυμα

Re: Περιοδικά Πολυώνυμα