mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 17, 2012 5:19 pm**

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\frac{\pi }{2})\rightarrow R$ με $f(\frac{\pi }{2})=0$ τέτοια ώστε:
$f'(x)=k(1+f^{2}(x)), k\epsilon R$ . Να βρεθεί ο τύπος της.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 17, 2012 5:26 pm**

APOSTOLAKIS έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,\frac{\pi }{2})\rightarrow R$ με $f(\frac{\pi }{2})=0$ τέτοια ώστε:
$f'(x)=k(1+f^{2}(x)), k\epsilon R$ . Να βρεθεί ο τύπος της.

Καλησπέρα.
Η συνθήκη $f(\frac{\pi }{2})=0$ είναι όντως σωστή;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 17, 2012 10:02 pm**

Έτσι μου δόθηκε, ας βάλουμε μια οποιαδήποτε αρχική συνθήκη.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 18, 2012 12:18 am**

Με πολλές επιφυλάξεις ( συγχωρέστε με αν έχω μαθηματικό λάθος δεν γνωρίζω καλά το αόριστο ολοκλήρωμα )
$f'(x)=k(f^2(x)+1)\Rightarrow \frac{f'(x)}{f^2(x)+1}=k$
Θέτω $f(x)=y\Rightarrow \frac{dy}{dx}=f'(x)$
Άρα $\frac{dy}{y^2+1}=kdx\Rightarrow \int \frac{dy}{y^2+1}=\int kdx ,(1)$
Θέτω $y=tan(u)\Rightarrow dy=[tan^2(u)+1]du$
$(1)\Rightarrow \int 1du=kx+c\Rightarrow u=kx+c\Rightarrow tan(u)=tan(kx+c)\Rightarrow f(x)=tan(kx+c)$

Φιλικά και μαθηματικά

mathematica.gr

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου