mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 19, 2012 2:37 pm**

Υπάρχει συνάρτηση $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ με την ιδιότητα Darboux και $f(f(x))=f(x)-e^x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 02, 2012 5:47 am**

H

είναι 1-1 και Darboux οπότε είναι γν. μονότονη (δείτε π.χ. εδώ.)

Επομένως, υπάρχουν τα όρια στα $\pm \infty.$

Από f(x)=f(f(x))+e^x

η

είναι γν. αύξουσα.

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)\in \Bbb{R}}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} f(f(x))=-\infty}$ άτοπο αφού η $f\circ f$ είναι γν. αύξουσα.

Άρα $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty.}$

Επίσης, $\displaystyle{f(f(x))=f(x)-e^x\leq f(x)\implies f(x)<x \implies \lim_{x\to - \infty}f(x)=-\infty. }$

Είναι $\displaystyle{f(f(x))=f(x)-e^x<f(x)-e^{f(x)}\leq -1,}$ άτοπο αφού $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(f(x))=\infty.}$

mathematica.gr

Υπάρχει;

Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;