mathematica.gr

Μέχρι 1-10-2009
Διασκεδαστικά μαθηματικά.

Σε ένα μοναστήρι υπάρχουν ν το πλήθος καλόγεροι,οι οποίοι συναντιώνται μόνο μια φορά την ημέρα (κατα την διάρκεια του μεσημεριανού φαγητού).

Μια ημέρα ο ηγούμενος, κάνει την εξής ανακοίνωση: Κάποιος ή κάποιοι απο εσάς έχουν κάνει αμαρτία. Σε αυτούς θα δημιουργηθεί ενα σημάδι στο μέτωπο.Αυτοί που έχουν το σημάδι θα πρέπει να αυτοκτονήσουν την ίδια ημέρα (όλοι μαζί). Κανένας δεν μπορεί να πει σε άλλον οτι έχει το σημάδι. Επίσης δεν υπάρχουν καθρέφτες και οτιδήποτε άλλο που θα μπορούσε να δει το μέτωπό του.

Πώς θα καταλάβουν οι κάλογεροι ποιά ημέρα θα πρέπει να αυτοκτονήσουν

Αν επιτρέπεται ένας καλόγερος να ρωτήσει κάποιον άλλον για το πόσα σημάδια μετράει συνολικά τότε η λύση είναι η εξής.

Στην επόμενη συνάντηση αρκεί να ρωτηθούν 2 καλόγεροι για το πόσα σημάδια μετράνε συνολικά.

Από την απάντηση που θα δώσουνε μπορούμε να βρούμε το σύνολο (κ) των σημαδιών με τον παρακάτω τρόπο.

- Αν κανείς από τους 2 δεν έχει σημάδι τότε θα πουν κ
- Αν και οι δύο έχουν σημάδι τότε θα πουν κ-1
- Αν ένας από τους δύο έχει μόνο σημάδι τότε αυτός θα πει κ-1 ενώ ο άλλος κ

Πρέπει να είναι τουλάχιστον δύο οι καλόγεροι γιατί αν ρωτάγαμε μόνο έναν ο ίδιος δεν θα μπορούσε να καταλάβει αν έχει το σημάδι.

Έχοντας το κ, οποίος μετράει κ-1 σημάδια γνωρίζει ότι έχει το σημάδι.

Δεν επιτρέπεται να ρωτήσει ο ένας τον άλλο. Απλώς, θυμίσου οτι όλοι μαζεύονται μόνο μια φορά την ημέρα.

Ας υποθέσουμε ότι οι καλόγεροι με το σημάδι είναι πχ δύο. Στην πρώτη συνάντησή τους ο ένας θα δεί το σημάδι του άλλου και θα σκεφτεί ότι αυτός είναι ο αμαρτωλός που πρέπει να αυτοκτονήσει. Στην επόμενη συνάντηση όμως θα δουν και οι δύο ότι κανείς τους δεν έχει αυτοκτονήσει ακόμα επομένως θα καταλάβουν και οι δύο ότι και οι δύο είναι οι αμαρτωλοί και πρέπει να αυτοκτονήσουν. Επομένως, αν ένας καλόγερος στην πρώτη συνάντηση δεί συνολικά χ καλόγερους με σημάδια, θα πρέπει όλοι να αυτοκτονήσουν μετά από χ+1 συναντήσεις! (Συγχωρήστε με αν λέω αρλούμπες...)

Αυτή ειναι η λύση. Στηρίζεται στην ασχή της μαθηματικής επαγωγής.

Αν έχει ένας το σημάδι, τότε στο πρώτο γεύμα βλέπει οτι σε όλους τους άλλους δεν υπάρχει σημάδι και απο την στιγμή που ξέρει οτι κάποιος θα το έχει καταλαβαίνει οτι το έχει μόνο αυτός.

Αν δυο έχουν το σημάδι, τότε ο ένας βλέπει τον άλλο (στο πρώτο γεύμα) και περιμένει να αυτοκτονήσει. Την επόμενη ημέρα ομώς τον ξαναβλέπει, έτσι σκέφτεται οτι για να μην αυτοκτονήσει ο σιγκεκριμένος καλόγερος υπάρχει και άλλος με το σημάδι (τον οποίο δεν βλέπει άρα είναι αυτός). Οπότε την δεύτερη ημέρα αυτοκτονούν και οι δύο μαζί. κ.τ.λ.

Γενικά θα αυτοκτονήσουν τόσες ημέρες μετά όσος και ο αριθμός των σημαδιών

Κάτι παρόμοιο συζητάει και ο Littlewood στο "A Mathematician's Miscellany". Παραθέτω το απόσπασμα όπως το βρήκα στο Google Books. Ελπίζω να επιτρέπεται αυτή η παράθεση.