mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 10:15 am**

Σε τεστ θέσαμε το παρακάτω θέμα και πήραμε τις

απαντήσεις . Πόσο "πιάνει" κάθε απάντηση ?

Θέμα : Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1$ . Βαθμολογούμε με την κλίμακα 0-20

.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1) $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

2) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ , οπότε :

$\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

3) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 , \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ και $\displaystyle 2x-1\geq 0 , \: \delta \eta \lambda.\: x\geq \frac{1}{2}$ ,

οπότε : $\displaystyle x\geq \frac{\sqrt{11}}{2}$ και έτσι έχω : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

4) Έστω

ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,

η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

5) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 , \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ και $\displaystyle 2x-1\geq 0 , \: \delta \eta \lambda.\: x\geq \frac{1}{2}$ ,

οπότε : $\displaystyle x\geq \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,

η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική .

Εκτός από τη βαθμολόγηση , μπορείτε να προτείνετε και τη δική σας λύση ! Διορθώθηκε και το τυπογραφικό

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 8:47 pm**

Το σχολικό βιβλίο με τα παραδείγματα στις σελίδες 82 , 83 , υιοθετεί τη μέθοδο :
- Η υπόρριζη ποσότητα μεγαλύτερη ίση του μηδενός
- Ύψωση στο τετράγωνο και επίλυση της αλγεβρικής εξίσωσης που προκύπτει
- Έλεγχος για το αν οι λύσεις που βρέθηκαν επαληθεύουν τη δοσμένη .

Μια παραλλαγή είναι , πριν την ύψωση , να απαιτούμε τα μέλη να είναι ομόσημα (διαφορετικά η εξίσωση είναι αδύνατη ), οπότε παίρνουμε ένα νέο περιορισμό που πρέπει να συναληθευθεί με τον αρχικό . Στο τέλος πρέπει να αναφερθεί ότι οι όποιες λύσεις είναι δεκτές διότι επαληθεύουν τον περιορισμό.

Σύμφωνα με αυτά : ( και με την προυπόθεση ότι αυτή είναι η μοναδική άσκηση κάποιου διαγωνίσματος )
Η (1) παίρνει 7
Η (2) παίρνει 14
Η (3) παίρνει 17 ( δεν λέει : ... η οποία επαληθεύει τους περιορισμούς )
Η (4) παίρνει 17 ή 0 (αυστηρότατα) (χωρίς τον αρχικό περιορισμό δεν δικαιούμαστε να κάνουμε πράξεις )
Η (5) παίρνει 19 ( δείχνει σύγχυση , για τους σκοπούς των περιορισμών )

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 9:09 pm**

Κατα την γνωμη μου η 3) παιρνει εικοσαρι.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 9:11 pm**

Noμίζω ότι και η 5η είναι πλήρης.

exdx έγραψε:Το σχολικό βιβλίο με τα παραδείγματα στις σελίδες 82 , 83 , υιοθετεί τη μέθοδο :
- Η υπόρριζη ποσότητα μεγαλύτερη ίση του μηδενός
- Ύψωση στο τετράγωνο και επίλυση της αλγεβρικής εξίσωσης που προκύπτει
- Έλεγχος για το αν οι λύσεις που βρέθηκαν επαληθεύουν τη δοσμένη .

Θεωρώ πως ανεξάρτητα του τι λέει το βιβλίο θα πρέπει να δίδεται ιδιαίτερη έμφαση στο τι είναι μαθηματικά σωστό και τι λάθος. Οι μέθοδοι απόδειξης είναι συγκεκριμένοι και εφ' όσον κάποιος τους ακολουθεί δε νομίζω πως θα πρέπει να αντιμετωπίζει πρόβλημα, είτε αναφέρεται στο βιβλίο είτε όχι.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 9:16 pm**

exdx έγραψε: Η (4) παίρνει 17 ή 0 (αυστηρότατα) (χωρίς τον αρχικό περιορισμό δεν δικαιούμαστε να κάνουμε πράξεις )

Δεν με βρίσκει σύμφωνο η αυστηρότητα του Γιώργου!

Υποθέτουμε ότι υπάρχει

που ικανοποιεί τους περιορισμούς του Συνόλου Ορισμού της εξίσωσης
Αν δεν είναι εύκολο να βρεθεί (να γραφεί υπό μορφή διαστημάτων) το Σύνολο Ορισμού, απλά καταγράφουμε περιγραφικά τους περιορισμούς. Π.χ. $\displaystyle D = \left\{ {x \in R/\;4x^2 - 11 \ge 0} \right\}$ και κατόπιν ελέγχουμε αν η ρίζα της εξίσωσης που προκύπτει ικανοποιεί τους αρχικούς περιορισμούς.

Βέβαια και αυτό πολλές φορές είναι δύσκολο, αλλά "ετσά ν' αυτά ...!". Δεν έχουν όλες οι ασκήσεις ίδιο βαθμό δυσκολίας.

Π.χ. στο πρώτο από τα παρακάτω παραδείγματα η εύρεση του Συνόλου Ορισμού είναι πιο δύσκολη από την επίλυση της εξίσωσης, ενώ στο δεύτερο ακόμα πιο δύσκολη, ενώ κατά τ' άλλα επιλύονται εύκολα. Όποιος θέλει, ας τις προσπαθήσει.

Και τα δύο παραδείγματα είναι από παλιά βιβλία για τη Β΄ Λυκείου.

(1) Να επιλυθεί η εξίσωση $\displaystyle \log \left( {\log \left( {2x^2 - x + 9} \right)} \right) = 0$

(2) Να επιλυθεί η εξίσωση $\displaystyle x^3 - x + 2 = 2\sqrt {x^3 - x + 10}$

edit: Δράττομαι της ευκαιρίας να υπενθυμίσω τα ερωτήματα (και την άσκηση...) που έθεσα ΕΔΩ περιμένοντας τα σχόλια και τις απαντήσεις σας!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 9:26 pm**

exdx έγραψε: Η (3) παίρνει 17 ( δεν λέει : ... η οποία επαληθεύει τους περιορισμούς )

Για ποιο λόγο πρέπει να πει ότι επαληθεύει τους περιορισμούς? Έχει πάρει ήδη περιορισμούς στην αρχή και δουλεύει με ισοδυναμίες από εκεί και πέρα(αυτό που χρειάζεται είναι απλά να πει ότι το

είναι εκτός των περιορισμών).Επαλήθευση χρειάζεται όταν δουλεύει με συνεπαγωγές.

Συμφωνώ και με τον κ.Ρίζο για το 4ο!

Η μόνη μου ένσταση αν θέλουμε να μαστε 100% τέλειοι είναι ότι στους περιορισμούς η λέξη πρέπει δεν είναι αρκετή.Καλό θα ήταν να λέμε πρέπει και αρκεί και μετά να βάζουμε ισοδυναμίες μέχρι να βρούμε σε ποιο σύνολο ανήκει το

.Αν δεν βάλουμε θα έχουμε βρει μεν ότι τα

πρέπει να ανήκουν σε κάποιο σύνολο αλλά τα

του συνόλου επαληθεύουν την αρχική παράσταση που πρέπει να επιλύσουμε?(δηλαδή το αντίστροφο)...πολύ μικρή λεπτομέρεια που δεν την προσέχει κανείς αλλά σε μερικά βιβλία χρησιμοποιείται αποκλειστικά αυτή η έκφραση στη λήψη περιορισμών.

Εντιτ: για μένα το 4 είναι 20 χωρίς δεύτερη σκέψη!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 10:38 pm**

Γενικότερα, βλέπε εδώ ( ιδιαίτερα τις παραγράφους 9,10 και 12).

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 29, 2012 11:15 pm**

- Κάθε αξιολόγηση είναι υποκειμενική .
- Πιστεύω ότι είμαι σύμφωνος με το πνεύμα του σχολικού βιβλίου .
- Οι περιορισμοί και οι αιτιολογήσεις πρέπει να γράφονται τη στιγμή που χρειάζονται .
- Οντως το 0 ήταν υπερβολικό , αλλά .....(συνημμένο) ( ευχαριστώ τον κ. Κυριακόπουλο )
- Χαίρομαι για το διάλογο και ευχαριστώ όσους συμμετέχουν .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 30, 2012 12:40 am**

KARKAR έγραψε:...4) Έστω ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ , η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

Γράφω τα σχόλια μου θεωρώντας δεδομένο ότι
1) Στα Μαθηματικά υπάρχουν γνώσεις και γνώστες αλλά δεν υπάρχει το θέσφατο.
2) Το mathematica κατά κανόνα απαρτίζεται από ανθρώπους που προτιμούν τα επιχείρηματα από τις εμμονές.

Έχουμε και λέμε λοιπόν. Μας ζητείται να λύσουμε την εξίσωση $\sqrt{4x^2-11}=2x-1$ . Αυτή μπορεί να ορίζεται αλλά μπορεί και να μην ορίζεται. Μπορεί να έχει αλλά και να μην έχει λύση. Ας ονομάσουμε

το σύνολο των πραγματικών αριθμών για τους οποίους η εξίσωση ορίζεται. Το

ενδέχεται να είναι και κενό. Ας ονομάσουμε

το σύνολο των λύσεων. Και αυτό ενδέχεται να είναι κενό. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις που δεν ξέρουμε εκ των προτέρων ποια ισχύει:
-Η εξίσωση έχει λύση. Τότε το

και επομένως το

είναι μη κενό. Με καθ΄όλα έγκυρους χειρισμούς βρίσκουμε ότι η λύση θα πρέπει να είναι η x=3

. Με μία απλή ματιά βλέπουμε ότι πράγματι είναι λύση και τελειώσαμε.
-Η εξίσωση δεν έχει λύση δηλαδή $B=\emptyset$ ή ακόμη χειρότερα δεν ορίζεται για κανένα

( $A=\emptyset$ ). Υποθέτοντας ότι ο

είναι λύση ξεκινάμε από μία ψευδή υπόθεση. Καταλήγουμε με έγκυρους συλλογισμούς σε ένα συμπέρασμα x=3

. Δεν ξέρουμε όμως αν ο αριθμός που βρήκαμε όντως είναι λύση ούτε καν αν η εξίσωση ορίζεται για αυτόν. Αυτό θα φανεί πάλι από τον έλεγχο.

Από την στιγμή που η εξίσωση επαληθεύται για x=3

σίγουρα έχει μη κενό πεδίο ορισμού. Δεν το βρήκαμε γιατί δεν ζητήθηκε.
Ο μαθητής έκανε ότι έπρεπε να κάνει και του αξίζει να βαθμολογηθεί με άριστα.

Μπαίνω για πολλοστή φορά σε συζήτηση αυτού του είδους μολονότι αυτά τα θέματα είναι λυμένα στα Μαθηματικά ακριβώς γιατί πιστεύω ότι η βαθμολογική μας συμπεριφορά θέλει προσοχή. Λάθη γίνονται και θα γίνονται. Αλλά ας οφείλονται τουλάχιστον σε αβλεψία και όχι σε πρόληψη.

Μαυρογιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 30, 2012 2:14 am**

KARKAR έγραψε:Σε τεστ θέσαμε το παρακάτω θέμα και πήραμε τις απαντήσεις . Πόσο "πιάνει" κάθε απάντηση ?
Θέμα : Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1$ . Βαθμολογούμε με την κλίμακα .
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ.
...........................................................................................................................................
4) Έστω ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

• Για ποιους αριθμούς έχουν νόημα τα μέλη της εξίσωσης; Για ποιους αριθμούς ισχύουν οι συνεπαγωγές αυτές; Όλα είναι στον «αέρα». Τι νόημα έχει να γράφουμε μηχανικά σχέσεις μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων, τα οποία δεν γνωρίζουμε σε ποιο σύνολο ανήκουν; Κανένα απολύτως. Αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος να απομακρύνουμε τους μαθητές από τα μαθηματικά, αφού επιμένουμε να καταλάβουν σχέσεις που δεν έχουν νόημα.
• Το θέμα αυτό το έχουμε συζητήσει και άλλες φορές. Δεν είναι θέμα γνώμης. Είναι θέμα ουσίας των μαθηματικών να μην γράφουμε μηχανικά σχέσεις που περιέχουν μαθηματικά αντικείμενα τα οποία δεν γνωρίζουμε σε ποιο σύνολο ανήκουν, ακριβώς γιατί, τότε, οι σχέσεις αυτές δεν έχουν κανένα νόημα!!!
Δεν θα ήθελα να προσθέσω τίποτα άλλο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 01, 2012 12:34 am**

KARKAR έγραψε:Σε τεστ θέσαμε το παρακάτω θέμα και πήραμε τις απαντήσεις . Πόσο "πιάνει" κάθε απάντηση ?

Θέμα : Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1$ . Βαθμολογούμε με την κλίμακα .

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1) $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

2) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ , οπότε :

$\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

3) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 , \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ και $\displaystyle 2x-1\geq 0 , \: \delta \eta \lambda.\: x\geq \frac{1}{2}$ ,

οπότε : $\displaystyle x\geq \frac{\sqrt{11}}{2}$ και έτσι έχω : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

4) Έστω ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,

η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

5) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 , \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ και $\displaystyle 2x-1\geq 0 , \: \delta \eta \lambda.\: x\geq \frac{1}{2}$ ,

οπότε : $\displaystyle x\geq \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,

η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική .

Εκτός από τη βαθμολόγηση , μπορείτε να προτείνετε και τη δική σας λύση ! Διορθώθηκε και το τυπογραφικό

Ας υποθέσουμε ότι αν ένας ερευνητής βρει τη λύση της εξίσωσης αυτής , τότε θα ανακαλύψει σε μια ώρα το φάρμακο για τον καρκίνο ή τη γήρανση ή ακόμα μπορέσει να νικήσει και τον ίδιο το θάνατο.Πόσοι άραγε από τους μαθηματικούς, ερευνητές ή δασκάλους των μαθηματικών , θα ασχοληθούν με τον τρόπο επίλυσης της εξίσωσης από τον ερευνητή αυτό;Πόσοι άραγε από την ανθρωπότητα θα προσπαθήσουν να μειώσουν την αξία της επίλυσης, αν για πάραδειγμα χρησιμοποιήσει τον τέταρτο ή τον πέμπτο τρόπο ;

Θα υπάρξει άραγε κάποιος μαθηματικός που θα σφαδάζει από τον πόνο μιας ασθένειας και δε θα δεχθεί να πάρει το φάρμακο που θα τον σώσει , επειδή σε κάποιο σημείο της λύσης έλλειπε μια συνεπαγωγή ή επειδή γράφηκε ένας περιορισμός παραπάνω ή ακολουθήθηκε μια μέθοδος που δεν την υιοθετεί ο ....pure mathematician ;

Η λύση (4)με τις συνεπαγωγές και την επαλήθευση είναι καθ' όλα πλήρης. Αυτό δε σημαίνει ότι την προτείνω ως την καλύτερη μέθοδο.Θα μπορούσε για παράδειγμα σε μια άλλη εξίσωση να προκύψουν πολλές πιθανές λύσεις, με ριζικά και μεγάλους αριθμούς, που ενώ η επαλήθευση θα είναι σχεδόν αδύνατη, με τη χρήση των περιορισμών (ή με τη λύση των ισοδυναμιών) ο προσδιορισμός της λύσης να είναι υπόθεση μιας ματιάς .Από την άλλη, θα μπορούσε η επίλυση του συστήματος των περιορισμών να είναι δυσχερής, χρονοβόρος ή ακόμα και αδύνατη. Τα έχουμε ξαναπει αυτά και είναι άσκοπο να τα ξαναλέμε . Να λοιπόν γιατί στις εξισώσεις δεν είναι δόκιμο να είμαστε αγκυλωμένοι σε μια μόνο μέθοδο και να απορρίπτουμε κάθε άλλη προσέγιση, έστω λιγότερο ''αυστηρή'' , πόσο μάλλον όταν απλά λείπει η φράση : ''με την υπόθεση ότι τα παρουσιαζόμενα σύμβολα έχουν νόημα πραγματικού αριθμού, έχουμε ...'' ! Στην επαλήθευση όμως επαληθεύεται αν τα σύμβολα(εδώ η ρίζα) έχουν νόημα, οπότε στην ουσία καμία απολύτως παράλλειψη δεν υπήρχε.

Ίσως ο Αρχιμήδης, αν ζούσε στις μέρες μας ,να μην ήταν ο πιο ''αυστηρός '' μαθηματικός , αλλά ελάχιστοι θα είχαν το ανάστημα ή την τόλμη να σταθούν μπροστά του και να αμφισβητήσουν τη μαθηματική του ενάργεια και δεινότητα.

Εμείς λοιπόν, ως δάσκαλοι, έχοντας στο νού μας όλα αυτά, πρέπει πρωτίστως να ενισχύουμε την αγάπη των μαθητών μας για τα μαθηματικά και την επίλυση προβλημάτων, αφήνοντας σε δεύτερη ευκαιρία (χωρίς όμως να τις παραλείπουμε) τις λεπτομέρειες και τις αυστηρότητες, αν και αυτές συχνά σκοτώνουν τη μαθηματική ομορφιά.

Εξακολουθώ λοιπόν πιστεύω στα παρακάτω φυσικά βήματα , όταν κάποιος μαθαίνει σχολικά μαθηματικά :

Παρατηρώ, δοκιμάζω, διαπιστώνω , λύνω,επαληθεύω , αποδεικνύω, διευρευνώ κλπ

Η πλήρης θεωρητική κατάκτηση της μαθηματικής αυστηρότητας, που είναι και αυτή μια μεγάλη κατάκτηση της ανθρώπινης ευφυίας, έρχεται σιγά σιγά και μετά από πολλά χρόνια δουλειάς και μελέτης.

Ας μην περιμένουμε από το μαθητή να κάνει στα δεκαέξι του αυτά που εμείς μάθαμε μετά από δεκαετίες προσπαθειών και διδασκαλίας για του ..κόψουμε τις... μισές μονάδες για μια παράλειψη ή έναν πλεονασμό.
Το ότι πρέπει να του δείχνουμε τον καλύτερο και τον πιο σωστό δρόμο για να κάνει σωστά μαθηματικά, υποδεικνύοντάς τον συνεχώς τους μαθηματικούς νόμους και τη σιγουριά που μας χαρίζει η μαθηματική λογική, είναι προφανώς άλλο ζήτημα και φυσικά όλοι αυτό κάνουμε σε κάθε ευκαιρία.

Καλή Πρωτομαγιά σε όλους και ας κρατήσουμε την αισιοδοξία μας !

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 01, 2012 1:08 pm**

nsmavrogiannis έγραψε:
KARKAR έγραψε:...4) Έστω ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ , η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.
Γράφω τα σχόλια μου θεωρώντας δεδομένο ότι
1) Στα Μαθηματικά υπάρχουν γνώσεις και γνώστες αλλά δεν υπάρχει το θέσφατο.
2) Το mathematica κατά κανόνα απαρτίζεται από ανθρώπους που προτιμούν τα επιχείρηματα από τις εμμονές.

Έχουμε και λέμε λοιπόν. Μας ζητείται να λύσουμε την εξίσωση $\sqrt{4x^2-11}=2x-1$ . Αυτή μπορεί να ορίζεται αλλά μπορεί και να μην ορίζεται. Μπορεί να έχει αλλά και να μην έχει λύση. Ας ονομάσουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών για τους οποίους η εξίσωση ορίζεται. Το ενδέχεται να είναι και κενό. Ας ονομάσουμε το σύνολο των λύσεων. Και αυτό ενδέχεται να είναι κενό. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις που δεν ξέρουμε εκ των προτέρων ποια ισχύει:
-Η εξίσωση έχει λύση. Τότε το και επομένως το είναι μη κενό. Με καθ΄όλα έγκυρους χειρισμούς βρίσκουμε ότι η λύση θα πρέπει να είναι η . Με μία απλή ματιά βλέπουμε ότι πράγματι είναι λύση και τελειώσαμε.
-Η εξίσωση δεν έχει λύση δηλαδή $B=\emptyset$ ή ακόμη χειρότερα δεν ορίζεται για κανένα ( $A=\emptyset$ ). Υποθέτοντας ότι ο είναι λύση ξεκινάμε από μία ψευδή υπόθεση. Καταλήγουμε με έγκυρους συλλογισμούς σε ένα συμπέρασμα . Δεν ξέρουμε όμως αν ο αριθμός που βρήκαμε όντως είναι λύση ούτε καν αν η εξίσωση ορίζεται για αυτόν. Αυτό θα φανεί πάλι από τον έλεγχο.

Από την στιγμή που η εξίσωση επαληθεύται για σίγουρα έχει μη κενό πεδίο ορισμού. Δεν το βρήκαμε γιατί δεν ζητήθηκε.
Ο μαθητής έκανε ότι έπρεπε να κάνει και του αξίζει να βαθμολογηθεί με άριστα.

Μπαίνω για πολλοστή φορά σε συζήτηση αυτού του είδους μολονότι αυτά τα θέματα είναι λυμένα στα Μαθηματικά ακριβώς γιατί πιστεύω ότι η βαθμολογική μας συμπεριφορά θέλει προσοχή. Λάθη γίνονται και θα γίνονται. Αλλά ας οφείλονται τουλάχιστον σε αβλεψία και όχι σε πρόληψη.

Μαυρογιάννης

Νίκο, αν κατάλαβα καλά, δηλαδή στην απάντηση 1 της συγκεκριμένης άσκησης θα έβαζες 20;;;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 01, 2012 3:28 pm**

exdx έγραψε: Η (4) παίρνει 17 ή 0 (αυστηρότατα) (χωρίς τον αρχικό περιορισμό δεν δικαιούμαστε να κάνουμε πράξεις )

Θα έβαζα 20, χωρίς ενδοιασμό.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 01, 2012 5:53 pm**

polysot έγραψε:Νίκο, αν κατάλαβα καλά, δηλαδή στην απάντηση 1 της συγκεκριμένης άσκησης θα έβαζες 20;;;

Σωτήρη δεν έγραψα τέτοιο πράγμα. Αναφέρθηκα μόνο στην λύση 4) που όπως είπα θεωρώ ότι είναι σωστή.
Αντίθετα στην λύση 1) διαπράττεται το σοβαρό λάθος να παρουσιάζει ως ισοδύναμες εξισώσεις που δεν είναι. Ο μαθητής δεν έχει αντιληφθεί ότι υψώνοντας στο τετράγωνο μπορεί να εμφανισθούν ως λύσεις και μη λύσεις.
Μαυρογιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 01, 2012 8:09 pm**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Ας υποθέσουμε ότι αν ένας ερευνητής βρει τη λύση της εξίσωσης αυτής , τότε θα ανακαλύψει σε μια ώρα το φάρμακο για τον καρκίνο ή τη γήρανση ή ακόμα μπορέσει να νικήσει και τον ίδιο το θάνατο. Πόσοι άραγε από τους μαθηματικούς, ερευνητές ή δασκάλους των μαθηματικών , θα ασχοληθούν με τον τρόπο επίλυσης της εξίσωσης από τον ερευνητή αυτό; Πόσοι άραγε από την ανθρωπότητα θα προσπαθήσουν να μειώσουν την αξία της επίλυσης, αν για παράδειγμα χρησιμοποιήσει τον τέταρτο ή τον πέμπτο τρόπο ;

• Το θέμα είναι ότι αν το φάρμακο το φτιάξει με βάση λανθασμένη λύση μιας εξίσωσης, τότε αντί να τον κάνει καλά θα τον στείλει στον άλλο κόσμο!!! Και δεν θα φταίνε τα μαθηματικά.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Θα υπάρξει άραγε κάποιος μαθηματικός που θα σφαδάζει από τον πόνο μιας ασθένειας και δε θα δεχθεί να πάρει το φάρμακο που θα τον σώσει , επειδή σε κάποιο σημείο της λύσης έλλειπε μια συνεπαγωγή ή επειδή γράφηκε ένας περιορισμός παραπάνω ή ακολουθήθηκε μια μέθοδος που δεν την υιοθετεί ο ....pure mathematician;

• Εδώ δεν δέχονται να πάρουν γενόσημα φάρμακα και θα δεχθεί κάποιος να πάρει φάρμακο που έχει προκύψει από μαθηματικά αμφιβόλου ποιότητας;

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Ίσως ο Αρχιμήδης, αν ζούσε στις μέρες μας ,να μην ήταν ο πιο ''αυστηρός '' μαθηματικός , αλλά ελάχιστοι θα είχαν το ανάστημα ή την τόλμη να σταθούν μπροστά του και να αμφισβητήσουν τη μαθηματική του ενάργεια και δεινότητα.

• Αυτό είναι σωστό. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι δεν πρέπει να διδάσκουμε σωστά τα μαθηματικά!

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Εμείς λοιπόν, ως δάσκαλοι, έχοντας στο νου μας όλα αυτά, πρέπει πρωτίστως να ενισχύουμε την αγάπη των μαθητών μας για τα μαθηματικά και την επίλυση προβλημάτων, αφήνοντας σε δεύτερη ευκαιρία (χωρίς όμως να τις παραλείπουμε) τις λεπτομέρειες και τις αυστηρότητες, αν και αυτές συχνά σκοτώνουν τη μαθηματική ομορφιά.

• Η μαθηματική ομορφιά σκοτώνεται όταν τα διαστρεβλώνουμε νομίζοντας ότι τα κάνουμε απλούστερα.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Εξακολουθώ λοιπόν πιστεύω στα παρακάτω φυσικά βήματα , όταν κάποιος μαθαίνει σχολικά μαθηματικά :
Παρατηρώ, δοκιμάζω, διαπιστώνω , λύνω, επαληθεύω , αποδεικνύω, διευρευνώ κλπ

• Με τη διαίσθηση και τις δοκιμές ανακαλύπτουμε και με τη λογική αποδεικνύουμε.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Η πλήρης θεωρητική κατάκτηση της μαθηματικής αυστηρότητας, που είναι και αυτή μια μεγάλη κατάκτηση της ανθρώπινης ευφυΐας, έρχεται σιγά- σιγά και μετά από πολλά χρόνια δουλειάς και μελέτης.

• Σωστό. Ας βοηθήσουμε λοιπόν τους μαθητές να την κατακτήσουν. Αν ένας από μικρός μάθει κάτι στραβά, μετά χρειάζεται πολύς κόπος για να το διορθώσει.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Ας μην περιμένουμε από το μαθητή να κάνει στα δεκαέξι του αυτά που εμείς μάθαμε μετά από δεκαετίες προσπαθειών και διδασκαλίας για του ..κόψουμε τις... μισές μονάδες για μια παράλειψη ή έναν πλεονασμό.

• Εγώ δεν μίλησα καθόλου περί βαθμολογίας. Αλλά μου έρχεται στο μυαλό το εξής:
« Πολλά πράγματα δεν έμαθα στη ζωή μου, γιατί οι φίλοι μου δεν μου έδειχναν τα λάθη μου, για να μην με πληγώσουν»
( Κώστας Σερίφης).

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Το ότι πρέπει να του δείχνουμε τον καλύτερο και τον πιο σωστό δρόμο για να κάνει σωστά μαθηματικά, υποδεικνύοντάς τον συνεχώς τους μαθηματικούς νόμους και τη σιγουριά που μας χαρίζει η μαθηματική λογική, είναι προφανώς άλλο ζήτημα και φυσικά όλοι αυτό κάνουμε σε κάθε ευκαιρία.

• «Μια στο καρφί, μια στο πέταλο» ( παροιμία).
Φιλικά.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 01, 2012 10:23 pm**

KARKAR έγραψε: .......................................................................

Εκτός από τη βαθμολόγηση , μπορείτε να προτείνετε και τη δική σας λύση !

Συνεχίζουμε τις εναλλακτικές λύσεις των μαθητών (προσδιορίσαμε τάξη;),

6) Μια προφανής λύση είναι η $\displaystyle{x = 3}$ και επειδή το β΄ μέλος είναι πρώτου βαθμού δεν μπορεί να έχει άλλη λύση, άρα είναι μοναδική

7) Μια προφανής λύση είναι η $\displaystyle{x = 3}$ και επειδή η εξίσωση που προκύπτει αν υψώσουμε στα τετράγωνα είναι πρώτου βαθμού (διαγράφονται οι μεγιστοβάθμιοι όροι $\displaystyle{{4{x^2}}}$ ), η λύση αυτή είναι μοναδική.

8) Μια προφανής λύση είναι η $\displaystyle{{x_0} = 3}$ , άρα έχουμε $\displaystyle{\sqrt {4{x_0}^2 - 11} = 2{x_0} - 1\,\,\left( 1 \right)}$ , έστω ότι έχει μια δεύτερη λύση την $\displaystyle{y \ne 3}$ , άρα έχουμε $\displaystyle{\sqrt {4{y^2} - 11} = 2y - 1\,\,\left( 2 \right)}$ , οπότε έχουμε διαδοχικά αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2)(που δεν είναι μηδενικές),

$\displaystyle{\begin{array}{l} \sqrt {4{x_0}^2 - 11} - \sqrt {4{y^2} - 11} = \left( {2{x_0} - 1} \right) - \left( {2y - 1} \right) \Rightarrow \frac{{\left( {4{x_0}^2 - 11} \right) - \left( {4{y^2} - 11} \right)}}{{\sqrt {4{x_0}^2 - 11} + \sqrt {4{y^2} - 11} }} = 2{x_0} - 2y \\ \Rightarrow \frac{{4 \cdot \left( {{x_0} - y} \right)\left( {{x_0} + y} \right)}}{{\sqrt {4{x_0}^2 - 11} + \sqrt {4{y^2} - 11} }} = 2\left( {{x_0} - y} \right) \\ \Rightarrow \frac{{2\left( {{x_0} + y} \right)}}{{\sqrt {4{x_0}^2 - 11} + \sqrt {4{y^2} - 11} }} = 1 \\ \Rightarrow 2{x_0} + 2y = \sqrt {4{x_0}^2 - 11} + \sqrt {4{y^2} - 11} \\ \mathop \Rightarrow \limits_{\left( 2 \right)}^{\left( 1 \right)} 2{x_0} + 2y = 2{x_0} - 1 + 2y - 1 \\ \Rightarrow 0 = - 2 \\ \end{array}}$

άτοπο, οπότε η εξίσωση δεν έχει δεύτερη λύση, άρα η $\displaystyle{x = 3}$ είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

9) Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 0}$ , όπου $\displaystyle{f\left( x \right) = \sqrt {4{x^2} - 11} - 2x + 1}$ , τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι $\displaystyle{A = \left( { - \infty , - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{\sqrt {11} }}{2}, + \infty } \right)}$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη για κάθε $\displaystyle{\left( { - \infty , - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt {11} }}{2}, + \infty } \right)}$ με παράγωγο $\displaystyle{f'\left( x \right) = \frac{{4x}}{{\sqrt {4{x^2} - 11} }} - 2}$

Για $\displaystyle{x < - \frac{{\sqrt {11} }}{2}}$ η $\displaystyle{f'\left( x \right) < 0}$ , άρα αντίστοιχα η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα (στο αντίστοιχο διάστημα), άρα για $\displaystyle{x < - \frac{{\sqrt {11} }}{2}}$ παίρνουμε,

$\displaystyle{f\left( x \right) > f\left( { - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right) \Rightarrow f\left( x \right) > \sqrt {11} + 1 > 0}$ δηλαδή η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 0}$ δεν έχει λύσεις στο διάστημα $\displaystyle{\left( { - \infty , - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right]}$

Αν $\displaystyle{x > \frac{{\sqrt {11} }}{2}}$ , τότε $\displaystyle{f'\left( x \right) > 0}$ , γιατί $\displaystyle{\frac{{4x}}{{\sqrt {4{x^2} - 11} }} - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{\sqrt {4{x^2} - 11} }} > 1 \Leftrightarrow 4{x^2} > 4{x^2} - 11 \Leftrightarrow 0 > - 11}$

Οπότε στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {\frac{{\sqrt {11} }}{2}, + \infty } \right)}$ η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα άρα η αντίστοιχη εξίσωση έχει μία το πολύ λύση και επειδή η $\displaystyle{f\left( 3 \right) = 0}$ , η $\displaystyle{x = 3}$ είναι μοναδική λύση.

edit: Διορθώθηκαν κάποια τυπογραφικά στην λύση 8

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 02, 2012 12:58 am**

KARKAR έγραψε:Σε τεστ θέσαμε το παρακάτω θέμα και πήραμε τις απαντήσεις . Πόσο "πιάνει" κάθε απάντηση ?

Θέμα : Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1$ . Βαθμολογούμε με την κλίμακα .

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1) $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

2) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ , οπότε :

$\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

3) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 , \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ και $\displaystyle 2x-1\geq 0 , \: \delta \eta \lambda.\: x\geq \frac{1}{2}$ ,

οπότε : $\displaystyle x\geq \frac{\sqrt{11}}{2}$ και έτσι έχω : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Leftrightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1 \Leftrightarrow 4x=12\Leftrightarrow x=3$

4) Έστω ρίζα της εξίσωσης . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,

η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική.

5) Πρέπει : $\displaystyle 4x^2-11\geq 0 , \: \delta \eta \lambda . \: x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{11}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{11}}{2},+\infty)$ και $\displaystyle 2x-1\geq 0 , \: \delta \eta \lambda.\: x\geq \frac{1}{2}$ ,

οπότε : $\displaystyle x\geq \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Τότε : $\sqrt{4x^2-11}=2x-1\Rightarrow 4x^2-11=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$ ,

η οποία είναι δεκτή αφού επαληθεύει την αρχική .

Εκτός από τη βαθμολόγηση , μπορείτε να προτείνετε και τη δική σας λύση ! Διορθώθηκε και το τυπογραφικό

Θανάση,
μια και εκφράστηκαν πολλές απόψεις για το πώς θα ήταν μια σωστή λύση, -ευτυχώς δεν υπάρχει μόνο ένας σωστός τρόπος για να λύσουμε αυτή(αλλά και άλλες άρρητες εξισώσεις) - , θέλω να ρωτήσω το εξής :
Εσείς πώς τις βαθμολογήσατε αυτές τις απαντήσεις των μαθητών ; Βέβαια θα είχε ενδιαφέρον να μας πείτε και πώς διδάξατε την επίλυση των εξισώσεων αυτών, ποια μέθοδο δηλαδή επιλέξατε , κάτι που θα ήταν πολύ χρήσιμο για όλους.

Είναι συχνά άλλο να αξιολογεί κανείς γραπτά των μαθητών του και άλλο άλλων μαθητών ! Στην πρώτη περίπτωση ξέρει τι έχει διδάξει και τι περιμένει, ενώ στη δεύτερη είναι διαφορετικά.

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 02, 2012 1:59 pm**

..Ας πούμε ότι θέσαμε το θέμα . Πάντως είμαστε μπροστά σε πιθανές και γνώριμες απαντήσεις .

Όπως είναι φανερό το επίκεντρο του ενδιαφέροντος το κατέχει η βαθμολόγηση της απάντησης 4)

χωρίς όμως να στερείται σημασίας η βαθμολόγηση των υπολοίπων απαντήσεων .

Λοιπόν , ο δικός μου τρόπος διδασκαλίας κατά συνέπεια και η προτεινόμενη λύση θα ήταν η 3)

με την προσθήκη δίπλα από τη λύση της λέξης δεκτή ( δηλ. ικανοποιεί τους περιορισμούς και όχι επαληθεύει την αρχική ).

Παρά ταύτα στην απάντηση 4) θα έβαζα άριστα . Θα καλούσα μάλιστα τους συναδέλφους να το ξανασκεφθούν !

Η μέθοδος αυτή , υπάρχει περίπτωση να μας οδηγήσει σε λάθος λύση ;

Ας σημειωθεί , ότι σύμφωνα με τις παρατηρήσεις στα μαθηματικά sites και βιβλία ανά τον κόσμο , αυτός

ο τρόπος λύσης είναι ο συνηθέστερος ( χωρίς βέβαια αυτό να είναι το κριτήριο για την υιοθέτησή του ! )

Αλλά ας πάμε και σε μια βαθμολόγηση ( με σχόλια απευθυνόμενα στο μαθητή ...)

1)

( λύσε με τον ίδιο τρόπο την $\sqrt{4x^2-11}=1-2x$ , για να καταλάβεις γιατί πήρες τόσο ...)

2)

( δεν αρκεί $4x^2-11\geq0$ , λύσε με τον ίδιο τρόπο την $\sqrt{4x^2-11}=1-2x$ , για να καταλάβεις

γιατί , επίσης δεν έλεγξες αν η ρίζα που βρήκες ικανοποιεί τους περιορισμούς )

3)

( δεν έλεγξες αν η ρίζα που βρήκες ικανοποιεί τους περιορισμούς)

4)

5)

(δεν φαίνεται η σκοπιμότητα των περιορισμών )

Ας δούμε και τις πιθανές απαντήσεις του Μάκη ...

6)

( ναι , αλλά το α' μέλος ? )

7)

( σεξ χωρίς προφυλακτικό - κίνδυνος για AIDS ! )

8)

( αλλά μην το ξανακάνεις-παραβλέπονται τα τυπογραφικά των τελευταίων γραμμών ! )

9) Πού τάμαθες αυτά ; ( η άσκηση είναι για τη Β' ) . Πάντως , πάρε ένα

.

Και κάτι τελευταίο : Παρατηρήστε με πόση δυσκολία αποφασίζει κάποιος να βαθμολογήσει δημόσια ( εξ ού και ο τίτλος )

Μάλιστα , με κίνδυνο να φανώ αδιάκριτος , θα ζητούσα από τον Αντώνη Κυριακόπουλο του οποίου , δικαίως ,

η γνώμη έχει για όλους μας ιδιαίτερο βάρος , να εκφέρει μια πιο σαφή άποψη για τη βαθμολόγησητης λύσης 4)

( Αν και είναι άχαρο να ζητάς από ένα κορυφαίο Μαθηματικό , ενασχόληση με βαθμολόγηση λυκειακού γραπτού )

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 02, 2012 2:16 pm**

KARKAR έγραψε: 7) ( σεξ χωρίς προφυλακτικό - κίνδυνος για AIDS ! )

Συμφωνώ με την παρένθεση, αλλά γιατί μόνο 8 και όχι....20;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 02, 2012 10:06 pm**

nsmavrogiannis έγραψε:
polysot έγραψε:Νίκο, αν κατάλαβα καλά, δηλαδή στην απάντηση 1 της συγκεκριμένης άσκησης θα έβαζες 20;;;
Σωτήρη δεν έγραψα τέτοιο πράγμα. Αναφέρθηκα μόνο στην λύση 4) που όπως είπα θεωρώ ότι είναι σωστή.
Αντίθετα στην λύση 1) διαπράττεται το σοβαρό λάθος να παρουσιάζει ως ισοδύναμες εξισώσεις που δεν είναι. Ο μαθητής δεν έχει αντιληφθεί ότι υψώνοντας στο τετράγωνο μπορεί να εμφανισθούν ως λύσεις και μη λύσεις.
Μαυρογιάννης

Παρεξήγησα λόγω του απομακρυσμένου τρόπου διαλόγου...

mathematica.gr

Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης

Re: Η δυσκολία της βαθμολόγησης