mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 30, 2012 4:40 pm**

Έστω

πραγματικοί $n \times n$ πίνακες με A^2 + B^2 = AB

. Να αποδειχθεί ότι αν ο BA-AB

είναι αντιστρέψιμος τότε το

είναι πολλαπλάσιο του

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 30, 2012 5:02 pm**

Μια λύση. Έστω $\displaystyle \omega =e^{\pi i/3}$ , τότε παρατηρούμε ότι: $\displaystyle \left(A -\omega B \right)\left(A-\omega^{-1} B \right)=A^2 +B^2 -\omega^{-1} AB -\omega BA=\left(1-\omega^{-1} \right)AB-\omega BA$ $\displaystyle =\omega\left(AB-BA \right)$ .

Άρα $\displaystyle \det\left(A-\omega B \right)\det\left(A-\omega^{-1}B \right)=\omega^{n}\det\left(AB-BA \right)$ .Επειδή $\displaystyle \exists (AB-BA)^{-1} \Rightarrow \det\left(AB-BA \right)\neq 0$ .Άρα $\displaystyle \omega^{n} =\frac{\det\left(A-\omega B \right)\det\left(A-\omega^{-1}B \right)}{\det\left(AB-BA \right)}$ , όμως $\displaystyle \det\left(A-\omega B \right)\det\left(A-\omega^{-1}B \right)=\left|\det\left(A-\omega B \right) \right|^2 \in \mathbb{R}$ .Άρα πρέπει $\displaystyle \exp\left(\frac{n\pi i}{3} \right)\in \mathbb{R}\Rightarrow n\equiv 0\left(\mod 3 \right)$ .

mathematica.gr

IMC 1997/1/3

IMC 1997/1/3

Re: IMC 1997/1/3