mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 17, 2009 12:01 am**

Δίνω μια άσκηση,κοντά στο πνεύμα των εξεταστών του διαγωνισμού:
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90),στο οποίο η ευθεία που ορίζεται απο το έγκεντρο Ι και το βαρύκεντρο G
αυτού είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΓ. Να βρεθούν οι πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ,σε συνάρτηση με το εμβαδό Ε
του ΑΒΓ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 17, 2009 1:29 am**

Φίλε Χρήστο, ας ξενυχτήσουμε (έστω και για λίγο) μαζί για παρέα στο δρόμο προς τις εξετάσεις σας.

Οι πλευρές είναι: $\alpha =\frac{5}{3}\gamma , \beta =\frac{4}{3}\gamma, \gamma =\sqrt{\frac{3}{2}E$

Δίνω συνημμένα αρχείο pdf με τη λύση.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ σε όλους!
Γιώργος Ρίζος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 17, 2009 10:29 am**

Ξαναστέλνω τη λύση δίχως συνημμένο αρχείο, για να είναι ορατή από όλους.

: Geom ASEP.JPG (23.91 KiB) Προβλήθηκε 2035 φορές

Έστω Θ το βαρύκεντρο και Ι το έκκεντρο του ΑΒΓ, με ΘΙ // ΑΓ.
Φέρνουμε ΘΜ κάθετη ΑΓ και ΙN κάθετη ΑΓ. Οπότε ΘΜ =ΙN =ρ (ακτίνα εγγεγρ. κύκλου του ΑΒΓ).

Έστω ΓΕ διάμεσος στην ΑΒ. Επειδή ΘΕ = $\frac{1}{3}\Gamma {\rm E}$ , θα είναι ΑΜ = $\frac{\beta }{3}$ .

Είναι ${\rm A}\Theta = \frac{2}{3}\mu _\alpha = \frac{\alpha }{3}$ ,
οπότε στο ορθογώνιο ΑΜΘ είναι: ρ2 = $\left( {\frac{\alpha }{3}} \right)^2 - \left( {\frac{\beta }{3}} \right)^2 = \left( {\frac{\gamma }{3}} \right)^2$ ,
οπότε $\rho =\frac{\gamma }{3}$ (1)

Είναι: Ε = τρ άρα $\frac{{\beta \gamma }}{2} = \tau \cdot \frac{\gamma }{3}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\beta = \frac{{2\tau }}{3}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\beta = \frac{{\alpha + \beta + \gamma }}{3}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\beta = \frac{{\alpha + \gamma }}{2}$ (2)

Επίσης, $\beta ^{2}=\alpha^{2}-\gamma ^{2}$ = (α + γ)(α – γ) $\mathop = \limits_{\left( 2 \right)} 2\beta \left( {\alpha - \gamma } \right)\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\beta = 2\left( {\alpha - \gamma } \right)$ (3)

Από (2) και (3) έχουμε: $\alpha = \frac{5}{3}\gamma \;\;\kappa \alpha \iota \;\;\beta = \frac{4}{3}\gamma$ , άρα τ = $\frac{{\frac{5}{3}\gamma + \frac{4}{3}\gamma + \gamma }}{2} = 2\gamma$

Τότε: Ε = τρ άρα ${\rm E} = 2\gamma \cdot \frac{\gamma }{3}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\gamma ^2 = \frac{3}{2}{\rm E}\;\;\; \Rightarrow \;\;\gamma = \sqrt {\frac{3}{2}{\rm E}} \;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;\beta = \frac{4}{3}\sqrt {\frac{3}{2}{\rm E}} ,\;\;\;\alpha = \frac{5}{3}\sqrt {\frac{3}{2}{\rm E}}$

Φιλικά,
Γιώργος Ρίζος

Μιχάλη ευχαριστώ!
Προσθέτω και το σχήμα, σύμφωνα με τη συμβουλή σου.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 17, 2009 10:31 am**

Γιώργο καλημέρα κι ευχαριστώ για τη λύση σου,απλά χτές το βράδυ παραδόθηκα στον ύπνο....

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 17, 2009 1:29 pm**

Rigio έγραψε:Ξαναστέλνω τη λύση δίχως συνημμένο αρχείο, για να είναι ορατή από όλους.

Γιώργο, ίσως ένας καλύτερος τρόπος (ας μας το επιβεβαιώσει ο Αλέξανδρος και οι υπόλοιποι φίλοι της τεχνικής υποστήριξης, γιατί μπορεί να κάνω λάθος) να παραθέτεις αρχεία είναι ο εξής:

Αντιγράφεις το σχήμα σου από εκεί που το ζωγραφισες, στο Paint και το σώζεις ως .jpg

Έτσι όταν το φορτώσεις στο mathematica είναι ορατό σε όλους και καταλαμβένει λιγότερο χώρο από ότι ένα αρχείο pdf.

Φιλικά,

Μιχάλης.

mathematica.gr

ΑΣ-ΕΠΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ...

ΑΣ-ΕΠΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ...

Re: ΑΣ-ΕΠΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ...

Re: ΑΣ-ΕΠΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ...

Re: ΑΣ-ΕΠΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ...

Re: ΑΣ-ΕΠΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ...