mathematica.gr

Βαζω ενα σχετικα ευκολο προβλημα Αναλυτικης Γεωμετριας το οποιο μου ειπε ενας συμφοιτητης και μου φανηκε αρκετα ωραιο, ισως απο αυτο να προκειπτουν και αλλα ωραια συμπερασματα.

Εστω 3 ευθειες στο χωρο που συντρεχουν σε ενα σημειο Κ και τεμνονται ανα δυο καθετα στο συγκεκριμενο σημειο. Αν Π ειναι ενα επιπεδο που δεν περιεχει καμια απο τις ευθειες αυτες και τις τεμνει και τις 3 στα σημεια Α,Β,Γ, νδο η προβολη του Κ πανω στο Π ειναι το ορθοκεντρο του τριγωνου ΑΒΓ.

Λοιπόν αυτό είναι πράγματι ωραίο πρόβλημα το οποίο είχα δει και παλαιότερα!
Λύνεται κατ' αρχάς διανυσματικά βγάζοντας το αντίστοιχο εσωτερικό γινόμενο 0.

Η δική μου λύση βασίζεται σχεδόν αποκλειστικά στο πυθαγόρειο καθώς :
και


Αρα (από 2ο 8εώρημα διαμέσων)

Tώρα καθώς λες, βγαίνουν κι άλλα συμπεράσματα βάσει αυτού! Π.χ. αποδείξτε ότι το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο συντρέχουν (Εuler line) και βρείτε και την αναλογία μεταξύ των αντίστοιχων τμημάτων!!

HINT: χρειάζεται να θεωρήσετε ένα σημείο ακόμα εκτός επιπέδου (και θεωρήστε το επίπεδο ως

Edit: είχα γράψει λάθος τα γράμματα!

Εστω Α(α,0,0) , Β(0,β,0) Γ (0,0,γ) και Κ(0,0,0) τα αντιστοιχα σημεια.
Η εξισωση του επιπεδου ΑΒΓ ειναι x/α+y/β+z/γ=1 και η προβολη του Κ στο ΑΒΓ ειναι το
Π(xo,yo,zo) και ισχυει οτι (xo-0,yo-0,zo-0)=λ*n oπου n καθετο διανυσμα στο επιπεδο ΑΒΓ
δηλαδη n=(1/α,1/β,1/γ) .Τo Π ειναι και σημειο του επιπεδου αρα λ=(1/α^2+1/β^2+1/γ^2)^(-1)
Τωρα βρισκεις το ορθοκεντρο σαν σημειο τομης των δυο υψων του τριγωνου ΑΒΓ και επαληθευεις.

Εστω Ρ η προβολη του Κ στο Π. Η ΚΡ ειναι ορθογωνια προς την ΒΓ (ως καθετη σε επιπεδο που περιεχει την ΒΓ). Ομοιως η ΚΑ ειναι ορθογωνια προς την ΒΓ. Το επιπεδο που οριζεται απο τις ΚΡ και ΚΑ ειναι λοιπον καθετο στην ΒΓ και συνεπως η ΑΡ καθετη στην ΒΓ. Ομοιως η ΒΡ ειναι καθετη στην ΑΓ, και η ΓΡ καθετη στην ΑΒ. Αρα το Ρ ειναι το ορθοκεντρο του ΑΒΓ.

[Νομιζω πως αν καποιος ξεκινησει αναποδα, αν ορισει δηλαδη το ορθοκεντρο Η του ΑΒΓ και προσπαθησει να αποδειξει οτι η ΚH ειναι καθετη στο Π ... απλως ατυχησε ]

Γιωργος Μπαλογλου

Αν η αμβλύνοια των ιθυνόντων δεν μας είχε καταδικάσει να κάνουμε γεωμετρία στην Flatland τότε το παρακάτω επιχείρημα (που ενσωματώνει βέβαια το επιχείρημα του Γιώργου) θα ήταν αρκετό:
Ξέρουμε ότι αν σε ένα τετράεδρο τα τρία ύψη συντρέχουν τότε είναι ορθοκεντρικό δηλαδή συντρέχουν και τα τέσσερα.
Σημειωτέον ότι υπήρχε μία εποχή που οι ικανοί μαθητές παίζανε τέτοια επιχειρήματα στα δάχτυλα.
Μαυρογιάννης

gbaloglou έγραψε:[Νομιζω πως αν καποιος ξεκινησει αναποδα, αν ορισει δηλαδη το ορθοκεντρο Η του ΑΒΓ και προσπαθησει να αποδειξει οτι η ΚH ειναι καθετη στο Π ... απλως ατυχησε ]

Κακως το εγραψα αυτο, μπορει να γινει και ετσι η αποδειξη, και με παρομοιο τροπο.

Γιωργος Μπαλογλου

Ωραιες οι λυσεις ολων, η δικη μου η λυση χρησημοποιει μονο εσωτερικα γινομενα αλλα στην ουσια ειναι ιδια με τη λυση του κυριου Μπαλογλου.