mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2012 9:08 am**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2012 9:11 am**

orestisgotsis έγραψε:Η πράξη $\displaystyle{*}$ ορίζεται από τη σχέση $\displaystyle{a*\,\,b = ab - b}$ για κάθε ζεύγος ακεραίων $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ . Ποιο είναι το αποτέλεσμα $\displaystyle{\left( {4*1} \right)*3}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2012 9:12 am**

orestisgotsis έγραψε:Η πράξη $\displaystyle{*}$ ορίζεται από τη σχέση $\displaystyle{a*\,\,b = ab - b}$ για κάθε ζεύγος ακεραίων $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$ . Ποιο είναι το αποτέλεσμα $\displaystyle{\left( {4*1} \right)*3}$ ;

Eίναι : $(4*1)*3=(4\cdot 1-1)*3=3*3=3\cdot3-3=6$ .

Edit: Με πρόλαβε στο... νήμα η Φωτεινή!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2012 11:18 am**

Με γενίκευση της πράξης

Αφού $\displaystyle{a*b = ab - b=b(a-1)}$ έχουμε πως $\displaystyle{\left( {a*b} \right)*c=c(a*b-1)=c\left(b(a-1) -1 \right)=abc-bc-c}$

άρα $\displaystyle{\left( {4*1} \right)*3=4\cdot 1\cdot 3-1\cdot 3-3=12-3-3=6}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 12, 2012 11:32 am**

Έστω $\displaystyle{ a^{\{ n\} } = \underbrace {(((a * a) * a)...) * a}_{n\,\,\,\sigma \varepsilon \,\,\pi \lambda \eta \vartheta o\varsigma } }$
να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ a^{\{ n\} } = 1 }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2012 2:47 pm**

Christos.N έγραψε:Έστω $\displaystyle{ a^{\{ n\} } = \underbrace {(((a * a) * a)...) * a}_{n\,\,\,\sigma \varepsilon \,\,\pi \lambda \eta \vartheta o\varsigma } }$
να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ a^{\{ n\} } = 1 }$

$\displaystyle{a^{\{ n\} }=(...(((a^2-a)a-a)a-a)....-a)=a^n-a^{n-1}-a^{n-2}-....-a^2-a$ Άρα και η εξίσωση γίνεται:
$a^n-a^{n-1}-a^{n-2}-....-a^2-a=1\Leftrightarrow a^n-1=a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a$ Όμως
$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a+1)$
$\Leftrightarrow a^n-1=a-1+(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a)$
$\Leftrightarrow a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a=\frac{a^n-a}{a-1}$
Άρα έχουμε
$a^n-1=\frac{a^n-a}{a-1}\Leftrightarrow (a^n-1)(a-1)=a^n-a\Leftrightarrow a^{n+1}-a^n-a+1=a^n-a\Leftrightarrow a^{n+1}-2a^n+1=0$
Που φαίνεται να έχει προφανή λύση την x=1

.Όμως αν πάμε την λύση αυτή να την βάλουμε στην αρχική θα έχουμε:
$1^n-1^{n-1}-1^{n-2}-....-1=1\Leftrightarrow -1(n-1)=0$
Τι κάνω λάθος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2012 3:14 pm**

thanos789 έγραψε:
Christos.N έγραψε:Έστω $\displaystyle{ a^{\{ n\} } = \underbrace {(((a * a) * a)...) * a}_{n\,\,\,\sigma \varepsilon \,\,\pi \lambda \eta \vartheta o\varsigma } }$
να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ a^{\{ n\} } = 1 }$
....
$\Leftrightarrow a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a=\frac{a^n-a}{a-1}$
Άρα έχουμε ....

Τι κάνω λάθος

Θάνο σε υπερευχαριστώ που ασχολήθηκες , μέσα από την καρδιά μου,με κάτι που τόσο αθώα και απερίσκεπτα έβαλα γιατί στο χαρτί μου ξέφυγε η λύση, το θέμα δηλαδή μπορεί να μην στέκει, πάντως έναν προβληματισμό σου μπορώ να τον λύσω.

εκεί λοιπόν που έχουμε παρανομαστή πρέπει να έχουμε και τον περιορισμό, $a\neq1$

Και πάλι χίλια συγνώμη.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2012 4:07 pm**

thanos789 έγραψε: $\displaystyle{a^{\{ n\} }=(...(((a^2-a)a-a)a-a)....-a)=a^n-a^{n-1}-a^{n-2}-....-a^2-a$ Άρα και η εξίσωση γίνεται:

Ένα πιο κρυφό σημείο είναι ότι ο παραπάνω τύπος δεν ισχύει για n=1

δεδομένου ότι $a^{\{1\}}=1$ ενώ το δεξί μέλος ισούται με

. Με άλλα λόγια η περίπτωση n=1

πρέπει να εξεταστεί χωριστά.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2012 5:07 pm**

Ευχαριστώ που μου λύσατε την απορία.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2012 5:10 pm**

Από τις πράξεις του Θάνου μπορούμε να πούμε ότι $a^{\{n\}} = 1$ αν και μόνο αν το

είνα ρίζα του πολυωνύμου $x^n - (1+x+x^2 + \cdots + x^{n-1})$ .

Για n=2

είναι απλό να τις βρούμε. Υπάρχουν επίσης τύποι που δίνουν τις ρίζες για n=3,4

. Για το συγκεκριμένο πολυώνυμο, τουλάχιστον για n=5,6,7

που το έχω ελέγξει με υπολογιστή, οι ρίζες του δεν μπορούν να εκφραστούν μόνο με ριζικά.

[Θεωρώ ότι η πράξη $\ast$ επεκτείνεται στους μιγαδικούς και ότι ψάχνουμε για μιγαδικές ρίζες. Είναι εύκολο να δούμε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες.]

mathematica.gr

Μία πράξη

Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη

Re: Μία πράξη