mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2012 8:08 pm**

Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση

για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 13, 2012 8:20 pm**

Υποθέτω πως μιλάμε για x>0.

Τότε η δοθείσα γίνεται και:
$\displaystyle{ \frac{2}{x}f(x) + f'(x)\ln x = 0 }$
Εύκολα f(1)=0.

Αν πολλαπλασιάσουμε με το lnx

τότε γίνεται:
$\displaystyle{ \frac{2}{x}\ln xf(x) + f'(x)\ln ^2 x = 0 \Rightarrow \left( {f(x)\ln ^2 x} \right)' = 0,\forall x > 0 \Rightarrow f(x)\ln ^2 x = c,\forall x > 0 }$
Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη, έχω c=0

$\displaystyle{ f(x)\ln ^2 x = 0,\forall x > 0 }$
Για $\displaystyle{ 0 < x < 1\mathop \Rightarrow \limits^{\ln x \ne 0} f(x) = 0 }$
Για
$\displaystyle{ x > 1\mathop \Rightarrow \limits^{\ln x \ne 0} f(x) = 0 }$
και λόγω συνέχειας και αρχικής συνθήκης:
$\displaystyle{ f(x) = 0,\forall x > 0 }$
Η συνάρτηση επαληθεύει φανερά τη δοθείσα επομένως είναι δεκτή.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 14, 2012 12:12 am**

νομίζω ότι βρίσκεται η f χωρίς να δίνεται το f(1)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 14, 2012 1:09 am**

themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$

Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{f'\left(x \right)+\frac{2}{x\ln x}f\left(x \right)=0\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left(\ln x}\right)\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow \left(f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}\right)'=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}=c \in\Mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)e^{\ln\left(\ln x}\right)^{2}}=c\Leftrightarrow f(x)\ln^2 x}}=c}$

$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x \to 1 }\left(f(x)\ln^2 x}}\right)=\lim_{x \to 1 }c }$

κι επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{1}$ ως παραγωγίσιμη θα ισχύει πως $\displaystyle{\lim_{x \to 1 }f(x)=f(1)}$

οπότε $\displaystyle{f(1)\cdot 0=c \Rightarrow c=0}$

Άρα $\displaystyle{f(x)\ln^2 x}}=0 \Rightarrow f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{0<x\ne 1}$ αφού τότε ισχύει πως $\displaystyle{\ln^2 x\ne 0}$

κι επειδή $\displaystyle{f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , που επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

Η παρούσα λύση είναι λανθασμένη. Την πάτησα. Την αφήνω σαν άσκηση του στυλ ''βρείτε το λάθος''.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 14, 2012 7:27 am**

R BORIS έγραψε:νομίζω ότι βρίσκεται η f χωρίς να δίνεται το f(1)

Καλημέρα Ροδόλφε!
Το f(1)

δε μου δόθηκε, εγώ το επινόησα γιατί με βόλευε στη λύση.Και για να είμαι πιό ακριβής δε μου άρεσε που στο

μηδενίζεται και ο λογάριθμος.Τώρα θα μου πεις η συνάρτηση δεν είναι συνεχής;Οκ έχεις δίκιο, απλά για πληρέστερη(κατά τη γνώμη μου πάντα) δικαιολόγηση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 14, 2012 10:36 am**

parmenides51 έγραψε:
themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$
Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{....\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left(\ln x}\right)\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow .....}$

Η παρούσα λύση είναι λανθασμένη. Την πάτησα. Την αφήνω σαν άσκηση του στυλ ''βρείτε το λάθος''.

Εδώ.
$\displaystyle{ 0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0 \Rightarrow \ln (\ln x)??????? }$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 14, 2012 11:38 am**

parmenides51 έγραψε:
themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$
Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{f'\left(x \right)+\frac{2}{x\ln x}f\left(x \right)=0\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left(\ln x}\right)\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow \left(f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}\right)'=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(x)e^{2\ln\left(\ln x}\right)}=c \in\Mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)e^{\ln\left(\ln x}\right)^{2}}=c\Leftrightarrow f(x)\ln^2 x}}=c}$

$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x \to 1 }\left(f(x)\ln^2 x}}\right)=\lim_{x \to 1 }c }$

κι επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{1}$ ως παραγωγίσιμη θα ισχύει πως $\displaystyle{\lim_{x \to 1 }f(x)=f(1)}$

οπότε $\displaystyle{f(1)\cdot 0=c \Rightarrow c=0}$

Άρα $\displaystyle{f(x)\ln^2 x}}=0 \Rightarrow f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{0<x\ne 1}$ αφού τότε ισχύει πως $\displaystyle{\ln^2 x\ne 0}$

κι επειδή $\displaystyle{f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , που επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

Η παρούσα λύση είναι λανθασμένη. Την πάτησα. Την αφήνω σαν άσκηση του στυλ ''βρείτε το λάθος''.

Βάλε απόλυτο ή αμέσως ln(ln^2x)

και με τις σταθερές σώζεται...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 14, 2012 4:06 pm**

Με διακριτική επισήμανση έμαθα το λάθος μου παραπάνω αρχικά, έκανα απλώς edit γιατί το θεώρησα καθαρά διδακτικό,
πως αν δηλαδή μείνει και το δουν κι άλλοι ενδεχομένως να έχουν να κερδίσουν περισσότερα από μια επιπλέον λύση,
την οποία παραθέτω παρακάτω.

themiskant έγραψε:Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $2f\left(x \right)+xf'\left(x \right)\ln x=0$

Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε πως $\displaystyle{f(1)=0}$

Για $\displaystyle{0<x\ne 1 \Rightarrow x\ln x\ne 0}$ έχουμε πως

$\displaystyle{f'\left(x \right)+\frac{2}{x\ln x}f\left(x \right)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in(0,1)\cup(1,+\infty)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f'\left(x \right)+2\left(\ln\left|\ln x}\right|\right)'f\left(x \right)=0 \Leftrightarrow \left(f(x)e^{2\ln\left|\ln x}\right|}\right)'=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(f(x)e^{\ln\left|\ln x}\right|^2}\right)'=0 \Leftrightarrow \left(f(x)\ln^2 x)'=0}$

οπότε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(x)\ln^2 x=c_1 & , x\in (0,1)\\ f(x)\ln^2 x=c_2 & , x\in (1,+\infty) \end{matrix}\right.}}$ $\displaystyle{\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle\lim_{x \to 1^- }\left(f(x)\ln^2 x\right)=\lim_{x \to 1^- }c_1\\ \displaystyle\lim_{x \to 1^+ }\left(f(x)\ln^2 x\right)=\lim_{x \to 1^+ }c_2 \end{matrix}\right.}}$

κι επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{1}$ ως παραγωγίσιμη θα ισχύει πως $\displaystyle{\lim_{x \to 1^- }f(x)=\lim_{x \to 1^+ }f(x)=f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(1)\cdot 0=c_1\\ f(1)\cdot 0=c_2 \end{matrix}\right.} \Rightarrow c_1=c_2=0}$

οπότε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f(x)\ln^2 x=0 & , x\in (0,1)\\ f(x)\ln^2 x=0 & , x\in (1,+\infty) \end{matrix}\right.} \Rightarrow f(x)\ln^2 x=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in(0,1)\cup(1,+\infty)}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in(0,1)\cup(1,+\infty)}$ αφού τότε ισχύει πως $\displaystyle{\ln^2 x\ne 0}$

κι επειδή $\displaystyle{f(1)=0}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{f(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , που επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

Υ.Γ. Ευχαριστώ όσους ασχολήθηκαν.

mathematica.gr

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης