mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 6:03 pm**

Μια διαφορική από τον Mr.Ore

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:D_f=\left(0,\frac{1}{{e}^{2}}\right)\cup \left(\frac{1}{{e}^{2}},+\infty\right)\to \mathbb{R}}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{D_f}$ με $\displaystyle{f(1)=1 , f\left(\frac{1}{{e}^{3}}\right)=-1}$

τέτοια ώστε $\displaystyle{2xf'(x)+f^{2}(x)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in D_f}}$ . Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 7:08 pm**

Κάτι δεν μου πάει καλά στην άσκηση... νομίζω ότι η συνάρτηση είναι (την αποδεικνύω αν θες) η $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{2}{{\ln x + 2}},x \in {D_f}}$ και πρέπει η αρχική συνθήκη να είναι $\displaystyle{f\left( {\frac{1}{{{e^3}}}} \right) = - 2}$ και όχι $\displaystyle{ - 1}$ που πληκτρολόγησες Parm.

Έτσι νομίζω, δες την ξανά...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 7:57 pm**

Επειδή εγώ πρότεινα την άσκηση στον Parm ,αντιμετώπιζα κυρίως πρόβλημα στη δικαιολόγηση για το $f(x)\neq 0$ .
Eπίσης, επειδή το θεώρημα $f'(x)=g'(x)\Rightarrow f(x)=g(x)+c$ ισχύει για διάστημα και όχι ένωση διαστημάτων δεν θα έπρεπε να βγαίνει δίκλαδη η συνάρτηση;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 8:00 pm**

Η αρχική σχέση είναι αυτή που γράφει ο Parm ή όχι; Για να ξεκινήσουμε και να τα βάλουμε όλα σε μια σειρά...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 8:21 pm**

Mr.Ore έγραψε:Επειδή εγώ πρότεινα την άσκηση στον Parm ,αντιμετώπιζα κυρίως πρόβλημα στη δικαιολόγηση για το $f(x)\neq 0$ .
Eπίσης, επειδή το θεώρημα $f'(x)=g'(x)\Rightarrow f(x)=g(x)+c$ ισχύει για διάστημα και όχι ένωση διαστημάτων δεν θα έπρεπε να βγαίνει δίκλαδη η συνάρτηση;

Δεν είναι απαραίτητο να βγεί δίκλαδη αλλά όταν εφαρμόστει η συνέπεια του ΘΜΤ θα πρέπει να είναι σε διάστημα,και όχι ένωση διαστημάτων

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 9:03 pm**

Η άσκηση ειναι σωστή.Αν μπόρουσε κάποιος να γράψει αναλυτικά τη λύση θα ήμουν ευγνώμων.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 10:17 pm**

mr Ore

Ηθελα να σε ρωτήσω πως είσαι σίγουρος ότι είναι σωστή ?

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αμφιβόλου προέλευσης.

Παρόμοια υπάρχει σε κάποιο βιβλίο ,αλλά μην μας πιάνει τρέλλα με κάθε άσκηση γιατί κυκλοφορούν πολλές λάθος.

dennys

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 10:31 pm**

Αν θέλετε μπορώ να σας πω απο ποιο βιβλίο την βρήκα.Κοίταξα τις λύσεις πίσω και δεν αιτιολογούσε ότι η συνάρτηση πρέπει να είναι διάφορη του μήδεν.Ωστόσο χρησιμοποίησε τα δεδομένα όπως είναι.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 10:33 pm**

Για $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{1}{{{e^2}}}} \right)}$
Είναι
$\displaystyle{2xf'(x) + {f^2}(x) = 0 \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right){e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }}} \right)^\prime } = 0}$
Άρα $\displaystyle{f\left( x \right){e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }} = {c_1}}$ που για $\displaystyle{x = \frac{1}{{{e^3}}}}$ δίνει $\displaystyle{{c_1} = - 1}$ άρα $\displaystyle{f\left( x \right){e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }} = - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = - {e^{\int\limits_{\frac{1}{{{e^3}}}}^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{2t}}dt} }} < 0}$ , έτσι μπορούμε να διαιρέσουμε στην αρχή με $\displaystyle{{f^2}(x)}$ και να βρούμε $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{2}{{\ln x + 1}}}$ .
Δουλεύοντας όμοια για $\displaystyle{x \in \left( {\frac{1}{{{e^2}}}, + \infty } \right)}$ βρίσκουμε τον τύπο που έδωσε ο Μάκης.

Ποια η πηγή;;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 11:06 pm**

Θα προσπαθήσω να γράψω τη λύση επισημαίνοντας κάποιες ατέλειες .....΄εστω ότι $f(x)\neq 0,x\epsilon D_{f}$ ,η περίπτωση f(x)=0

στο τέλος....της άσκησης . $2xf(x)+f^{2}(x)=0\Leftrightarrow \frac{-f'(x)}{f^{2}(x)}=\frac{1}{2x}$ Άρα $\frac{1}{f(x)}=\frac{lnx}{2}+c$ Για $x>1>\frac{1}{e^{2}},f(x)>0$ Συνεπώς $f(x)=\frac{2}{lnx+2},x\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},+\propto \right)$ ομοίως στο άλλο διάστημα του πεδίου ορισμού που προφανώς η συνάρτηση έχει αρνητικές τιμές είναι $f(x)=\frac{2}{lnx+1},x\epsilon \left(0,\frac{1}{e^{2}} \right)$ Οι αρχικές συνθήκες επαληθεύονται και η δοθείσα σχέση ικανοποιούνται .Απο τη σχέση που δόθηκε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα . Υποθέτουμε ότι υπάρχει $x_{0},f(x_{0})=0$ $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{3}},\frac{1}{e^{2}} \right)\Rightarrow f(x_{0})<f(\frac{1}{e^{3}})\Rightarrow 0<-1$ άτοπο.Ομοίως για $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},1 \right)$ ομοιως έχουμε άτοπο....
Αν το $x_{0}$ κινηθεί σε άλλο διάστημα δεν έχουμε άτοπο....
Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2012 11:09 pm**

Το βιβλίο του Νίκου Τάσου,μαθηματικά κατεύθυνσης γ'λυκείου εκδόσεις πουκαμισά.
Ωραία λύση ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 17, 2012 12:27 am**

Καπως έτσι σαν τον Γιάννη την είδα ,και αξιολόγησα ότι θα έπρεπε να δοθεί οτι $f(x)\neq 0$ .

Φυσικά ο Βασίλης την είδε διαφορετικά και εκανε τέχνασμα του e .Μπράβο mathxl.

Τι είναι ομως το '' τέχνασμα του e '',Ας την δώσω σαν κάτι χρήσιμο για τους μαθητές .

χρήση : Αν εχουμε μορφή. f{'}(x)+g(x)f(x)=0

η στο δεύτερο μέλος κάτι άλλο.δηλ θέλουμε 'καθαρή την f{'}(x)

απο συντελεστές και τα άλλα όπως στην σχέση.

Bρίσκω αρχική της g(x)

,εστω

και πολ΄/ζω την ισότητα με $e^{G(x)}$ και έτσι προκύπτει

$(e^{G(x)}f(x)){'}=0\Rightarrow e^{G(x)}f(x)=c$ κλπ.

πχ δίνεται f{'}(x)+3f(x)=0

,αρχική της g(x)=3, G(x)=3x

και πολ/ζω με $e^{3x}\Rightarrow e^{3x}f{'}(x)+3e^{3x}f(x)=0\Rightarrow (e^{3x}f(x)){'}=0$

Στην συγκεκριμένη καθαρίζω την f{'}(x)

διαιρώντας με 2χ $\neq 0$ αφου χ>0 και έχουμε

$f{'}(x)+\frac{1}{2x}f(x)f(x)=0$ αρα θέλουμε αρχικη της $\cfrac{f(x)}{2x}$ που είναι $\int_{\frac{1}{e^3}}^{x}\cfrac{f(t)}{2t}dt$ και συνεχίζω την

μέθοδο.

φιλικα dennys

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 17, 2012 12:49 am**

STOPJOHN έγραψε:Θα προσπαθήσω να γράψω τη λύση επισημαίνοντας κάποιες ατέλειες .....΄εστω ότι $f(x)\neq 0,x\epsilon D_{f}$ ,η περίπτωση στο τέλος....της άσκησης . $2xf(x)+f^{2}(x)=0\Leftrightarrow \frac{-f'(x)}{f^{2}(x)}=\frac{1}{2x}$ Άρα $\frac{1}{f(x)}=\frac{lnx}{2}+c$ Για $x>1>\frac{1}{e^{2}},f(x)>0$ Συνεπώς $f(x)=\frac{2}{lnx+2},x\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},+\propto \right)$ ομοίως στο άλλο διάστημα του πεδίου ορισμού που προφανώς η συνάρτηση έχει αρνητικές τιμές είναι $f(x)=\frac{2}{lnx+1},x\epsilon \left(0,\frac{1}{e^{2}} \right)$ Οι αρχικές συνθήκες επαληθεύονται και η δοθείσα σχέση ικανοποιούνται .Απο τη σχέση που δόθηκε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα . Υποθέτουμε ότι υπάρχει $x_{0},f(x_{0})=0$ $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{3}},\frac{1}{e^{2}} \right)\Rightarrow f(x_{0})<f(\frac{1}{e^{3}})\Rightarrow 0<-1$ άτοπο.Ομοίως για $x_{0}\epsilon \left(\frac{1}{e^{2}},1 \right)$ ομοιως έχουμε άτοπο....
Αν το $x_{0}$ κινηθεί σε άλλο διάστημα δεν έχουμε άτοπο....
Γιάννης

Τώρα μπήκα και είδα τις λύσεις σας, καταπληκτική του Βασίλη! Σε βγάζει από τις κακοτοπιές όπως της λύσης (και είναι αυτή που είχα κατά νου) του Γιάννη.

Απλά να σημειώσω ότι, η συνάρτηση

είναι (απλά) φθίνουσα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 17, 2012 8:06 pm**

μια παρόμοια

Aς σημειωθεί πως ο τρόπος επίλυσης της παραπομπής δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην παρούσα άσκηση,
όπως αποτυγχάνει να εφαρμοστεί σε όλα τα διαστήματα το άτοπο του Γιάννη (STOPJOHN).

mathematica.gr

διαφορική

διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική

Re: διαφορική