mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 07, 2012 8:04 pm**

Γνωρίζουμε οτι εαν $(a_{n})$ ακολουθία πραγματικών και $(k_{n})$ μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών, τότε η ακολουθία $b_{n}=a_{k_{n}}$ ονομάζεται υπακολουθία της $(a_{n})$ . Να δειχτεί οτι $\forall n\in \mathbb{N}: k_{n}\geq n$ . Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή.

Το ερώτημά μου είναι αν μπορεί κάποιος να μου αναλύσει το συμπέρασμα διαισθητικά, να το ερμηνεύσει λίγο παραπάνω και με γεωμετρική ερμηνεία. Δε μπορούσα να "δω" οτι ισχύει κάτι τέτοιο αν δεν έβλεπα την απόδειξή του ισχυρισμού. Ποιοτικά δηλαδή τι σημαίνει και πώς δικαιολογείται η ισχύς του γιατί δε το βλέπω.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 07, 2012 8:23 pm**

Βάλε σε δυο παράλληλες γραμμές τους αριθμούς 1,2,3,4,5 κλπ το 1 της μιας γραμμής κάτω από το 1 της άλλης και ομοίως για τους άλλους αριθμούς. Οι πάνω αριθμοί αντιστοιχούν στου δείκτες της a_n

.

Στην κάτω γραμμή τώρα ξεκίνα να επιλέγεις αριθμούς. Η κάθε επιλογή που θα κάνεις θα είναι δεξιότερα από την προηγούμενη επιλογή. Οι αριθμοί που θα διαλέξεις αντιστοιχούν στους δείκτες k_n

της υπακολουθίας και το ότι η κάθε επιλογή γίνεται δεξιότερα από την προηγούμενη εκφράζει το ότι η k_n

είναι γνησίως αύξουσα.

Είναι τώρα διαισθητικά σαφές ότι η

η επιλογή θα είναι δεξιότερα ή ακριβώς κάτω από το

της πάνω γραμμής (δηλαδή ότι $k_1\geq1$ ), ότι η

η επιλογή θα είναι δεξιότερα ή ακριβώς κάτω από το

της πάνω γραμμής (δηλαδή ότι $k_2\geq2$ ) και γενικά ότι η

-οστή επιλογή θα είναι δεξιότερα ή ακριβώς κάτω από το

της πάνω γραμμής (δηλαδή ότι $k_n\geq n$ );

Η "χειρότερη" περίπτωση θα είναι να ξεκινήσεις στην κάτω γραμμή επιλέγοντας το 1 μετά το 2 το 3 κλπ, δηλαδή να παίρνεις με τη σειρά τους δείκτες της a_n

οπότε και θα έχεις k_n=n

.

Ελπίζω να μη σε μπέρδεψα..

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 07, 2012 9:37 pm**

Στη χειρότερη περίπτωσω θα έχω θεωρήσει σαν υπακολυθία την ίδια την αρχική ακολουθία...ωραίο τα παράδειγμα, ευχαριστώ.

mathematica.gr

Απορία στις ακολουθίες

Απορία στις ακολουθίες

Re: Απορία στις ακολουθίες

Re: Απορία στις ακολουθίες