mathematica.gr

Ένα από τα ασυνήθιστα-παράξενα των μαθηματικών το οποίο όμως συναρπάζει

Ερώτηση: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση η οποία όμως δεν είναι παραγωγίσιμη σε κανένα σημείο του πεδίου ορισμού της ?
Απάντηση: Υπάρχει η συνάρτηση Weierstrass

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

Έχω το επίσης συναρπαστικό ερώτημα για σένα... Μέχρι τώρα έχεις δει συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς σε μερικά σημεία... ή εν γένει όχι σε πολλά... το ερώτημα είναι:
Υπάρχει συνάρτηση που να μην είναι συνεχείς σε κανένα σημείο? (Απάντηση: NAI!).

vasilis.volos.13 έγραψε:Ένα από τα ασυνήθιστα-παράξενα των μαθηματικών το οποίο όμως συναρπάζει

Όλα τα λεφτά η εισαγωγή του άρθρου:

In mathematics, the Weierstrass function is a pathological example of a real-valued function

Καλησπέρα. Η συνάρτηση

θέτω ένα ακόμα ερώτημα : υπάρχει πραγματικη συναρτηση που να είναι συνεχής, πουθενά παραγωγίσιμη και αλλά και πουθενά μονότονη ;

Η συνάρτηση Weierstrass δεν είναι πουθενά μονότονη εκτός από πουθενά παραγωγίσιμη, αν δεν κάνω λάθος.

αντιγράφω από την wikipedia
[In mathematics, the Weierstrass function is a pathological example of a real-valued function on the real line. The function has the property that it is continuous everywhere but differentiable nowhere. It is named after its discoverer Karl Weierstrass.] δεν αναφέρεται κάπου ότι δεν υπαρχει διαστημα
έτσι ωστε να ειναι μονοτονη
Η απάντηση στο ερώτημα που έθεσα είναι η συνάρτηση Tagaki-Blancmange με τύπο όπου

Ισχύει ότι αν με μονότονη τότε η είναι παραγωγίσιμη σε άπειρα σημεία.

Οπότε οποιαδήποτε συνάρτηση δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη, δεν μπορεί να είναι και σε κανένα διάστημα μονότονη.

Πιο ενδιαφέρον παρουσιάζει η ύπαρξη συναρτήσεων που είναι παραγωγίσιμες αλλά δεν είναι σε κανένα διάστημα μονότονες. Κάναμε μια σχετική κουβέντα εδώ.