mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 08, 2012 6:43 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x + f(y + z)) + f(f(x + y) + z) = 2y,

για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 08, 2012 8:20 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε (1)
για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}.$

Η (1) για $\displaystyle{x=z=0}$ δίνει $\displaystyle{2f(f(y))=2y \Rightarrow f(f(y))=y,\ \forall y \in \Bbb{R}}$

Εύκολα η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1.

Η (1) για $\displaystyle{z=0}$ δίνει $\displaystyle{f(x+f(y))+f(f(x+y))=2y \Rightarrow f(x+f(y))=y-x,\ \forall x,y \in \Bbb{R}}$ (2)

Η (2) για $\displaystyle{y=x}$ δίνει $\displaystyle{f(x+f(x))=0=f(f(0))}$ και λόγω του 1-1 $\displaystyle{f(x)=-x+f(0),\ \forall x \in \Bbb{R}}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι επαληθεύει την αρχική

mathematica.gr

Μία από Αυστρία

Μία από Αυστρία

Re: Μία από Αυστρία