mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 17, 2012 1:01 am**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(a)=1

και $\displaystyle{ f(x)f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right)f\left(\frac{a}{y}\right) =2f(xy) ,}$ για κάθε $x,y \in (0,+\infty),$ όπου a>0.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 17, 2012 6:06 am**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε και $\displaystyle{ f(x)f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right)f\left(\frac{a}{y}\right) =2f(xy) ,}$ (1)για κάθε $x,y \in (0,+\infty),$ όπου

Θέτοντας στην (1) $\displaystyle{x=y=1}$ έχουμε $\displaystyle{f^2(1)-2f(1)+1=0 \Rightarrow f(1)=1}$

Πάλι στη (1) όπου $\displaystyle{y=1}$ έχουμε $\displaystyle{f(x)+f\left(\frac {a}{x}\right)=2f(x) \Rightarrow f(x)=f\left(\frac {a}{x}\right)}$ (2)

Άρα λόγω της (2) η (1) γίνεται $\displaystyle{2f(x)f(y)=2f(xy) \Rightarrow f(x)f(y)=f(xy)}$ (3)

Αν στην (3) αντικαταστήσουμε το $\displaystyle{y}$ με $\displaystyle{\frac {1}{x}}$ έχουμε $\displaystyle{f(x)f\left(\frac {1}{x}\right)=1}$ (4)

Αν στην (1) κάνουμε την ίδια αντικατάσταση έχουμε $\displaystyle{f(x)f\left(\frac {1}{x}\right)+f\left(\frac {a}{x}\right)f(ax)=2}$

$\displaystyle{\Rightarrow f\left(\frac {a}{x}\right)f(ax)=1}$ (5)

Η (1) για $\displaystyle{y=a}$ δίνει $\displaystyle{f(x)+f\left(\frac {a}{x}\right)=2f(ax)}$ , άρα, λόγω της (2):

$\displaystyle{f(ax)=f(x)}$ .

Άρα η (5) δίνει $\displaystyle{f^2(x)=1}$

και η (3) για $\displaystyle{x=y}$ δίνει $\displaystyle{f^2(x)=f(x^2)=1,\ \forall x>0}$ και επειδή κάθε θετικός αριθμός $\displaystyle{y}$ γράφεται ως $\displaystyle{x^2}$

για κάποιον θετικό αριθμό $\displaystyle{x>0}$ έχουμε $\displaystyle{f(y)=1,\ \forall y>0}$ ,

που επαληθεύει την αρχική.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 17, 2012 1:19 am**

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=105630

mathematica.gr

Συναρτησιακή για εξάσκηση!

Συναρτησιακή για εξάσκηση!

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση!

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση!