mathematica.gr • Συναρτησιακή για εξάσκηση

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή για εξάσκηση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 24, 2012 9:15 pm

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε 2f(n+3)f(n+2)=f(n+1)+f(n)+1

2f(n+3)f(n+2)=f(n+1)+f(n)+1

για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=21&t=2325&start=0

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 25, 2012 11:01 pm

από Παύλος Μαραγκουδάκης

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

2f(n+4)f(n+3)=f(n+2)+f(n+1)+1

.

Αφαιρώντας κατά μέλη:

$2\left[f(n+4)-f(n+2) \right]f(n+3)=f(n+2)-f(n)$ για κάθε $n\geq 0$ . $\left( \ast \right)$

Αν $f(2)-f(0)\neq 0$ τότε $f(4)-f(2)\neq 0$ και γενικά $f(2n+4)-f(2n+2)\neq 0$ .

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ισότητες που δίνει η $\left( \ast \right)$ για τις

πρώτες άρτιες τιμές του

, βρίσκουμε

$2^{k}\left[f(2k+2)-f(2k) \right]f(2k+1)f(2k-1)...f(3)=f(2)-f(0).$

Άρα ο

f(2)-f(0)

είναι πολλαπλάσιο του 2^k

2^k

για κάθε

, άτοπο.

Επομένως f(2)=f(0)

f(2)=f(0)

και ομοίως f(3)=f(1)

f(3)=f(1)

.

Από την αρχική σχέση, $f(n+2)\neq 0$ για κάθε $n\geq 0.$

Άρα f(0)=f(2)=f(4)=...

f(0)=f(2)=f(4)=...

και

f(1)=f(3)=f(5)=...

Επίσης

2f(3)f(2)=f(1)+f(0)+1

οπότε

(2f(0)-1)(2f(1)-1)=3.

Τελικά οι μόνες ακολουθίες που ικανοποιούν την αρχική είναι

2,1,2,1,...

1,2,1,2,...