mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 01, 2012 12:25 pm**

Αν

και

είναι διαφορετικοί μιγαδικοί και θέσουμε $\alpha =\frac{1-zw}{z-w}$ , $\beta =(\frac{1+zw}{z-w})i$ και $\gamma =\frac{z+w}{z-w}$ , να αποδείξετε ότι :

1. $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$ .

2. Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in R$ , τότε οι

, $-\frac{1}{w}$ είναι συζυγείς μιγαδικοί.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 01, 2012 3:55 pm**

Γιώργος Κ77 έγραψε:Αν και είναι διαφορετικοί μιγαδικοί και θέσουμε $\alpha =\frac{1-zw}{z-w}$ , $\beta =(\frac{1+zw}{z-w})i$ και $\gamma =\frac{z+w}{z-w}$ , να αποδείξετε ότι :

1. $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$ .

Καλησπέρα!

Ελπίζω να μην έχω λάθη στη λύση μου.

έχουμε:
$a^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\left(\frac{1-zw}{z-w} \right)^{2}+\left(\frac{1+zw}{z-w}\cdot i \right)^{2}+\left(\frac{z+w}{z-w} \right)^{2}=\frac{\left(1+z^{2}w^{2}-2zw \right)-\left(1+z^{2}w^{2}+2zw\right)+\left(z^{2}+w^{2}+2zw \right)}{\left(z-w \right)^{2}}=\frac{z^{2}+w^{2}-2zw}{\left(z-w \right)^{2}}=\frac{\left(z-w \right)^{2}}{\left(z-w \right)^{2}}=1$

Γιώργος Κ77 έγραψε: 2. Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \in R$ , τότε οι , $-\frac{1}{w}$ είναι συζυγείς μιγαδικοί.

αφού $a,\beta ,\gamma \in \Re$ τότε θα ισχύει
$\gamma =\bar{\gamma }\Leftrightarrow \frac{z+w}{z-w}=\frac{\bar{z}+\bar{w}}{\bar{z}-\bar{w}}\Leftrightarrow \left(z+w \right)\left(\bar{z}-\bar{w} \right)=\left(z-w \right)\left(\bar{z}+\bar{w} \right)\Leftrightarrow z\bar{z}-z\bar{w}+w\bar{z}-w\bar{w}=z\bar{z}+z\bar{w}-w\bar{z}-w\bar{w}\Leftrightarrow 2\bar{z}w=2z\bar{w}\Leftrightarrow \bar{z}w=z\bar{w} \; {\color{red} \left(1 \right)}$

και επίσης
$a=\bar{a}\Leftrightarrow \frac{1-zw}{z-w}=\frac{1-\bar{z}\bar{w}}{\bar{z}-\bar{w}}\Leftrightarrow \bar{z}-\bar{w}-z\bar{z}w+zw\bar{w}=z-w-z\bar{z}\bar{w}+\bar{z}\bar{w}w\Leftrightarrow {\color{red} \left(a\pi o \left(1 \right) \right)}\Leftrightarrow \bar{z}-\bar{w}-z^{2}\bar{w}+\bar{z}w^{2}=z-w-\bar{z}^{2}w+z\bar{w}^{2}\Leftrightarrow \bar{z}\left(1+\bar{z} w\right)+w\left(1+\bar{z} w \right)=\bar{w}\left(1+\bar{w}z \right)+z\left(1+\bar{w}z \right)\Leftrightarrow {\color{red} \left(a\pi o \left(1 \right) \right)}\Leftrightarrow \bar{z}\left(1+z\bar{w} \right)+w\left(1+z\bar{w} \right)=\bar{w}\left(1+z\bar{w} \right)+z\left(1+z\bar{w} \right)\Leftrightarrow \left(1+z\bar{w} \right)\left(\bar{z}+w-\bar{w}-z \right)=0$

εάν $1+z\bar{w}=0\Leftrightarrow z=-\frac{1}{\bar{w}}$ και τότε

και $-\frac{1}{w}$ είναι συζυγείς

εάν $\bar{z}+w-\bar{w}-z=0\Leftrightarrow z-w=\bar{z}-\bar{w} \; {\color{blue} \left(2 \right)}$ τότε η σχέση $\gamma =\bar{\gamma }$ θα γίνει:
$\gamma =\bar{\gamma }\Leftrightarrow \frac{z+w}{z-w}=\frac{\bar{z}+\bar{w}}{\bar{z}-\bar{w}}\Leftrightarrow z+w=\bar{z}+\bar{w} \; {\color{green} \left(3 \right)}$
προσθέτουμε τις σχέσεις (2) και (3) κατά μέλη και έχουμε:
$2z=2\bar{z}\Leftrightarrow z=\bar{z}$ και αντικαθιστώντας σε μια απ τις δύο εξισώσεις συμπεραίνουμε και πως $w=\bar{w}$
επίσης από τη σχέση (2) και τις ισότητες που μόλις βρήκαμε η σχέση $\beta =\bar{\beta }$ θα γίνει:
$\beta =\bar{\beta }\Leftrightarrow \frac{1+zw}{z-w}\cdot i=-\frac{1+\bar{z}\bar{w}}{\bar{z}-\bar{w}}\cdot i\Leftrightarrow 1+zw=-1-\bar{z}\bar{w}\Leftrightarrow zw+\bar{z}\bar{w}=-2\Leftrightarrow z\bar{w}+z\bar{w}=-2\Leftrightarrow z=-\frac{1}{\bar{w}}$
άρα και πάλι οι αριθμοί

και $-\frac{1}{w}$ είναι συζυγείς!

ΥΓ. τώρα ελπίζω να μην μπέρδεψα κανένα πρόσημο...

Κύριε dennys σας ευχαριστώ για την επισήμανση για το λάθος που είχα!!

mathematica.gr

Μιγαδικοί Αριθμοί 23

Μιγαδικοί Αριθμοί 23

Re: Μιγαδικοί Αριθμοί 23