mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 12, 2009 12:48 am**

Έστω τρίγωνο ABC

και τα κέντρα του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου του,

και

αντίστοιχα.
Αν $5\vec{OA}+4\vec{OB}+3\vec{OC}=12\vec{OI}$ νδο τα σημεία B,C,O

είναι συνευθειακά.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 12, 2009 11:54 pm**

G είναι το κέντρο βάρους του ABC

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2009 2:45 am**

socrates έγραψε:Έστω τρίγωνο και τα κέντρα του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου του, και αντίστοιχα.
Αν $5\vec{OA}+4\vec{OB}+3\vec{OC}=12\vec{OI}$ νδο τα σημεία είναι συνευθειακά.

Πολύ ενδιαφέρουσα η λύση με χρήση του G.

Δίνω μία διαφορετική λύση: Είναι γνωστό και απλό να αποδειχθεί (*) ότι

$\vec{OI} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC} }{a+b+c}$ .
Αντικαθιστώντας στην δοθείσα θα βρούμε
$( -7a + 5b + 5c)\vec{OA} = (-4a+8b-4c)\vec{OB} + (-3a -3b+9c)\vec{OC}$ (**)

Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του πρώτου διανύσματος (του ΟΑ) είναι όσο το άθροισμα των συντελεστών των άλλων δύο. Δηλαδή έχουμε μία κατάσταση της μορφής

$(\lambda +\mu) \vec{OA} = \lambda \vec{OB} + \mu\vec{OC}$

Έπεται ότι λ + μ = λ = μ = 0 γιατί αλλιώς, διαιρώντας π.χ. με το λ + μ, θα βλέπαμε ότι το A θα ήταν στην ευθεία ΒC, πράγμα άτοπο γιατί τα A,B,C είναι κορυφές τριγώνου. (Όμοια στις άλλες περιπτώσεις).
Άρα -7a + 5b + 5c = 0 και -4a+8b-4c = 0. Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε b = 4a/5, c= 3a/5 και άρα το ΑΒC είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒC (και Ο στο μέσον της ΒC).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

(*) δείτε το σχήμα στη λύση του Νίκου Μαυρογιάννη εδώ:
viewtopic.php?f=23&t=2808&start=0
όπου υπάρχουν αρκετά στοιχεία για να αποδειχθεί η παραπάνω σχέση

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2009 12:13 pm**

Αγαπητέ socrates, τι σημαίνει: νδο; (συγγνώμη που επανέρχομαι ).
Αυτά ( ξέρω τι σημαίνουν ), ίσως και άλλα, πιθανόν να τα χρησιμοποιούμε στο πρόχειρο για ευκολία μας και μόνον για τον εαυτόν μας. Ποτέ όμως δεν τα γράφουμε όταν παρουσιάζουμε επίσημα μία άσκηση ή την λύση της και κυρίως όταν την δημοσιεύουμε. Στα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε κανενός είδους στενογραφία.
•Με την ευκαιρία αυτή, θέλω να τονίσω ότι ούτε τα σύμβολα της Μαθηματικής Λογικής( της συνεπαγωγής, της ισοδυναμίας, του για κάθε, του υπάρχει κτλ.) είναι σύμβολα στενογραφίας και ότι δεν επιτρέπεται να τα γράφουμε μέσα στα κείμενά μας. Τα σύμβολα αυτά δεν είναι μια μορφή στενογραφίας.
• Θα ήθελα να παρακαλέσω όλους τους συναδέλφους, αλλά και όλους όσοι είναι μέλη του mathematica, να μην χρησιμοποιούν τα παραπάνω σύμβολα στα κείμενά τους, ως σύμβολα στενογραφίας, γιατί εκτός του ότι δεν είναι «κομψό» , εκτός του ότι δείχνουν μια προχειρότητα και εκτός του ότι δεν δείχνουν και μεγάλο σεβασμό προς αυτούς που θα τα διαβάσουν, κάνουν τα μαθηματικά δυσκολότερα από ότι είναι.
Φιλικά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2009 12:20 pm**

Καλημέρα
Μια προσέγγιση ακόμη.
Με σημείο αναφοράς το Α η αρχική σχέση δίνει την $\displaystyle{ 4\mathop {AB}\limits^ \to \,\, + 3\mathop {AC\,}\limits^ \to \,\,\,\, = \,\,12\,\mathop {AI}\limits^ \to \,\,\,(1)}$ Φέρνουμε τις αποστάσεις ID , IE του Ι από τις πλευρές ΑΒ , ΑC αντίστοιχα. Είναι τότε ΑD = AE = x .Παίρνοντας υπ'όψη την (1) διαδοχικά έχουμε:

$\displaystyle{ \mathop {AB}\limits^ \to \left( {4\mathop {AB}\limits^ \to \,\, + 3\mathop {AC\,}\limits^ \to \,} \right)\,\,\, = \,\,12\,\mathop {AB}\limits^ \to \mathop {AI}\limits^ \to \,\,\, \Rightarrow 4c^2 + 3cb\cos A = 12\mathop {AB}\limits^ \to \mathop {AD}\limits^ \to \,\, \Rightarrow 4c^2 + 3cb\cos A = 12cx\,\,\, \Rightarrow 4c + 3b\cos A = 12x\,\,(2)}$ και

$\displaystyle{ \mathop {AC}\limits^ \to \left( {4\mathop {AB}\limits^ \to \,\, + 3\mathop {AC\,}\limits^ \to \,} \right)\,\,\, = \,\,12\,\mathop {AC}\limits^ \to \mathop {AI}\limits^ \to \,\,\, \Rightarrow 4bc\cos A + 3b^2 = 12\mathop {AC}\limits^ \to \mathop {AE}\limits^ \to \,\, \Rightarrow 4bc\cos A + 3b^2 = 12bx\, \Rightarrow 4c\,\,\cos A + 3b = 12x\,\,(3)}$

Από (2), (3) παίρνουμε $\displaystyle{ 4c\,\, + \,\,3b\cos A = 4c\,\,\cos A + 3b\,\,\, \Rightarrow \,\,(3b - 4c)\cos A = 3b - 4c}$ που μας δίνει $\displaystyle{3b - 4c = 0}$ (*) γιατί διαφορετικά θα ήταν $\displaystyle{\cos A = 1}$ που είναι αδύνατο.

Εργαζόμενοι ανάλογα (στην αρχική σχέση παίρνουμε σημείο αναφοράς το Β κλπ) βρίσκουμε $\displaystyle{3a - 5c = 0}$ (**)

Οι ισότητες (*) , (**) μας δίνουν την γωνία Α ορθή και έτσι προκύπτει το ζητούμενο.

Γιώργος

: .png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 1646 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 13, 2009 12:26 pm**

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Με την ευκαιρία αυτή, θέλω να τονίσω ότι ούτε τα σύμβολα της Μαθηματικής Λογικής (της συνεπαγωγής, της ισοδυναμίας, του για κάθε, του υπάρχει κτλ.) είναι σύμβολα στενογραφίας και ότι δεν επιτρέπεται να τα γράφουμε μέσα στα κείμενά μας. Τα σύμβολα αυτά δεν είναι μια μορφή στενογραφίας.

Πολύ σωστά Δάσκαλε. Ευχαριστούμε που το επισημαίνεις γιατί δυστυχώς το βλέπουμε πολύ συχνά στα κείμενα.

Με λίγα λόγια, ας το ξαναπώ:

Η χρήση των συμβόλων $"\Rightarrow", "\Leftrightarrow"$ και λοιπά της Λογικής ως ταχυγραφίες είναι και αισθητικά αλλά και από Μαθηματικής σκοπιάς εσφαλμένη. Στα Μαθηματικά δεν επιτρέπεται η σύγχυση της μεταγλώσσας (= της περιγραφικής γλώσσας) με την Μαθηματική γλώσσα. Αλλιώς, όπως ξεκαθάρισε ο Tarski, οδηγούμεστε σε παράδοξα τύπου Russel.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Διανύσματα

Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα

Re: Διανύσματα