mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 17, 2012 1:49 am**

Μια δική μου κατασκευή.
Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης $\displaystyle{f:R \to R}$ , με $\displaystyle{f\left( 2 \right) = 8}$ , ώστε για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ να ικανοποιεί την $\displaystyle{f'\left( {2012x - {e^{ - x}}} \right) = 3{\left( {2012x - {e^{ - x}}} \right)^2}}$ .

Διαφορικός λογισμός γ λυκείου μέχρι 18/7/2012.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 18, 2012 4:51 pm**

$f^\prime(2012x-e^{-x})=3(2012x-e^{-x})^2\Rightarrow (2012+e^{-x})f^\prime(2012x-e^{-x})=3(2012+e^{-x})(2012x-e^{-x})^2 \Rightarrow (f(2012x-e^{-x}))'=((2012x-e^{-x})^3)'\Rightarrow f(2012x-e^{-x})=(2012x-e^{-x})^3+c,c\in R (1)$

Η συνάρτηση $g;R\rightarrow R$ με τύπο $g(x)=2012x-e^{-x}$ είναι συνεχής στο

ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων

2012x

(πολυωνυμική) διαφορά με $e^{-x}$ η οποία με τη σειρά της είναι σύνθεση των

και

.

( $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty$ και $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$ )

Άρα έχει την ιδιότητα των ενδιάμεσων τιμών και άρα υπάρχει $k\in R$ τέτοιο ώστε $g(k)=2012k-e^{-k}=2$

Η (1) για x=k

δίνει $f(2)=8+c\Rightarrow c=0$

Έτσι $f(2012x-e^{-x})=(2012x-e^{-x})^3\Rightarrow f(x)=x^3,x\in R$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 18, 2012 5:28 pm**

Θα βάλω και εγώ έναν παρόμοιο τρόπο λύσης
θέτω $u=2012x-e^{-x}$ άρα έχουμε
$f'\left(u \right)=3u^{2}\Leftrightarrow \left(f\left(u \right) \right)'=\left(u^{3} \right)\Leftrightarrow f\left(u \right)=u^{3}+c$
για u=2

τότε $f\left(2 \right)=8+c\Leftrightarrow c=0$
άρα $f\left(u \right)=u^{3}$ κάνω αντικατάσταση μεταβλητών όπου

το

και έχω
$f\left(x \right)=x^{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 18, 2012 5:31 pm**

Καλό μεσημέρι. Μετά την αλλαγή μεταβλητής, γιατί $\displaystyle{x \in R}$ ;; Μήπως πρέπει να δείξουμε-βρούμε και κάτι επιπλέον για την συνάρτηση

που όρισε ο φίλος BAGGP93 ;;

mathematica.gr

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου