mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 18, 2012 8:46 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy){\ge}f(x)+f(y){\ge}\frac{\ln(xy)}{1+|\ln x{\cdot} \ln y|} , \ \forall x,y \in\mathbb{R}^+.}$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2743234

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 20, 2012 9:37 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(xy){\ge}f(x)+f(y){\ge}\frac{\ln(xy)}{1+|\ln x{\cdot} \ln y|,} ,~~{\color{blue}\bf(1)} \ \forall x,y \in\mathbb{R}^+.}$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2743234

για να δούμε...

$x=y=1,~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(1)\geq 2f(1)\geq 0\Rightarrow f(1)=0$

$y=1,~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(x)\geq \ln x,~~x>0$

$\displaystyle{y=\frac{1}{x},~~{\color{blue}\bf(1)}\Rightarrow f(\frac{1}{x})=-f(x),~~{\color{blue}\bf(2)}}$

$\displaystyle{y:\frac{1}{y},~~{\color{blue}\bf(1)}\stackrel{~~{\color{blue}\bf(2)}}\Rightarrow f(x)-f(y)\geq \frac{\ln{\frac{x}{y}}}{1+|\ln x \ln y|}}$ $\displaystyle{\stackrel{x=1}\Longrightarrow f(y)\leq \ln y}$

άρα $f(x)=\ln x,x>0$

mathematica.gr

Πράκτις

Πράκτις

Re: Πράκτις