mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 20, 2012 3:17 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)\leq 4+2009x$ και $f(x+y)\leq f(x)+f(y)-4$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 20, 2012 4:47 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x)\leq 4+2009x,~~{\color{blue}\bf(1)}$ και $f(x+y)\leq f(x)+f(y)-4,~~{\color{blue}\bf(2)}$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$

$x=0,~~{\color{blue}\bf(1)}\Longrightarrow f(0)\leq 4$

$x=y=0,~~{\color{blue}\bf(2)}\Longrightarrow f(0)\geq 4$

άρα f(0)=4

$y=-x,~~{\color{blue}\bf(2)}\Longrightarrow f(x)+f(-x)\geq 8$

$x:-x,~~{\color{blue}\bf(1)}\Longrightarrow f(-x)\leq 4-2009x,~~{\color{blue}\bf(3)}}$

${\color{blue}\bf(1)+(3)}\Longrightarrow f(x)+f(-x)\leq 8$

άρα $f(x)+f(-x)=8\Rightarrow f(x)=8-f(-x)\Rightarrow 8-f(-x)\leq 4+2009x$

$\Rightarrow f(-x)\geq 4-2009x$

$\Longrightarrow f(-x)=4-2009x\Longrightarrow f(x)=4+2009x,x\in \mathbb R$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 20, 2012 4:54 pm**

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=273919

mathematica.gr

Συναρτησιακή ανίσωση

Συναρτησιακή ανίσωση

Re: Συναρτησιακή ανίσωση

Re: Συναρτησιακή ανίσωση