mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 27, 2012 3:52 am**

Για τη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνωρίζουμε ότι

$|f(x) - f(y) | \leq |x-y| \ \forall x, y \ \in \mathbb{R}$ και f(f(f(0))) = 0.

Να δείξετε ότι $|f(x)| \leq |x| \ \forall x \ \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 27, 2012 11:26 am**

socrates έγραψε:Για τη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνωρίζουμε ότι

$|f(x) - f(y) | \leq |x-y| \ \forall x, y \ \in \mathbb{R}$ και

Να δείξετε ότι $|f(x)| \leq |x| \ \forall x \ \in \mathbb{R}.$

Το παραπάνω αποτελεί άμεση συνέπεια από θέμα διαγωνισμού στη Μογγολία 2000.

Αρκεί να δείξουμε ότι f(0)=0

. Πράγματι, ισχύει

$\begin{aligned} |f(f(0))|&=|f(f(f(0)))-f(f(0))|\\ &\leq |f(f(0))-f(0)|\\ &\leq |f(0)|\quad (***)\\ &=|f(f(f(0)))-f(0)|\\\notag &\leq |f(f(0))|\notag \end{aligned}$

Συνεπώς, |f(f(0))|=|f(0)|