mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 28, 2012 5:58 pm**

Έστω

συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις, ορισμένες στο $\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε p(q(x))= q(p(x)),

για κάθε

Δείξτε ότι αν η εξίσωση p(p(x)) - q(q(x)) =0

έχει ρίζα, τότε το ίδιο συμβαίνει και με την p(x)- q(x)=0

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 28, 2012 6:23 pm**

Έστω $\displaystyle x_0$ η ρίζα της $\displaystyle p(p(x))-q(q(x))=0$ . Αν υποτεθεί ότι η συνεχής (ως πράξεις συνεχών) συνάρτηση $\displaystyle p(x)-q(x)$ δεν έχει σημείο μηδενισμού τότε από συνέπεια Bolzano θα διατηρεί πρόσημο, και έστω $\displaystyle p(x)>q(x) \forall x\in R$ .

Τότε $\displaystyle p(p(x_0))>q(p(x_0)) \Leftrightarrow q(q(x_0))>p(q(x_0))$

Επίσης $\displaystyle p(q(x_0))>q(q(x_0))$

Καταλήγουμε σε άτοπο, άρα η εξίσωση $\displaystyle p(x)-q(x)=0$ έχει ρίζα. Όμοια αν έστω $\displaystyle p(x)<q(x) \forall x\in R$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 28, 2012 6:42 pm**

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=273920
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=424695
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=284563

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 09, 2012 10:41 pm**

εδώ

mathematica.gr

Υπάρχει ρίζα

Υπάρχει ρίζα

Re: Υπάρχει ρίζα

Re: Υπάρχει ρίζα

Re: Υπάρχει ρίζα