ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

[Α.Κυριακόπουλος]

Το συνημμένο περιέχει χρήσιμες επισημάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγματικών συναρτήσεων,καθώς και παραδείγματα εφαρμογής.
Στο τέλος παραθέτω μία σειρά ασκήσεων, πολλές από τις οποίες έχω φτιάξει ο ίδιος.
• Έχω τη γνώμη ότι η πλήρης κατανόηση των βασικών εννοιών στις συναρτήσεις, είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την περαιτέρω απρόσκοπτη μελέτη τους.

Έχω διορθώσει μερικά τυπογραφικά σφάλματα και έχω αντικαταστήσει την άσκηση 77, η οποία παρουσίαζε κάποιο πρόβλημα.

H εργασία έχει αναρτηθεί ως ενιαίο κείμενο μαζί με τις απαντήσεις:
download/file.php?id=3424

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Σ΄ ευχαριστούμε δάσκαλε, η προσφορά σου είναι ανεκτίμητη.

[chris_gatos]

Κύριε Αντώνη και εμείς οι ερημίτες σας ευχαριστούμε πολύ !!

[konkyr]

Κύριε Αντώνη σας ευχαριστούμε πολύ!!!

[Φωτεινή]

Κύριε Αντώνη ,ευχαριστούμε πολύ !!!

[Χάρης Γ.Λ.]

Παρα πολύ καλή δουλεια.
Ευχαριστούμε που τη μοιραζεστε μαζι μας .

[sorfan]

Κύριε Αντώνη σε ευχαριστούμε για τη συνεχή προσφορά σου.

Σπύρος

[Στέλιος Μαρίνης]

Πολύ καλή δουλειά, Αντώνη. Σ' ευχαριστώ κι εγώ για την προσφορά σου.
Αν μου επιτρέπεις θέλω να κάνω κάποιες επισημάνσεις:
1) Στην προσπάθειά σου να "οδηγήσεις" το μαθητή να βρίσκει το Πεδίο Ορισμού και να μη μένει στην απλή αναγραφή του με περιγραφή, λες ότι πρέπει αυτό να γραφεί ως διάστημα ή ένωση διαστημάτων, εκτός αν δεν είναι δυνατό να γίνει. Γεννιούνται δύο απορίες: α) Πώς καλυπτόμαστε σε περίπτωση που το Πεδίο Ορισμού αποτελείται και από μονοσύνολα;
β) Είμαστε υποχρεωμένοι να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση ή ανίσωση δεν έχει λύση; Το πολυώνυμο 7ου βαθμού που δίνεις για παράδειγμα γιατί δεν έχει λύση; Μήπως απλώς δεν ξέρουμε να τη βρούμε; Αυτό μας επιτρέπει να μην το βρούμε; Πώς θα ξέρει ο μαθητής ποιες μπορεί και ποιες δεν μπορεί να λύσει; Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση
. Ποιο είναι το Πεδίο Ορισμού της; Για να μην ψάχνεις έχει 4 πραγματικές ρίζες που βρίσκονται αν με διάφορους μετασχηματισμούς φέρουμε το πολυώνυμο του παρονομαστη΄στη μορφή:
2) Δεν είμαι σίγουρος ότι ξέρω τι ακριβώς είναι ο "τύπος συνάρτησης";
3) Τέλος έχω κάποιες παρατηρήσεις σχετικά με το ζήτημα της εύρεσης του Πεδίου Ορισμού. Η συνάρτηση δεν είναι γνωστή αν δε δίνεται. Πρόκειται για μια σύμβαση να μη το δίνουμε θεωρώντας ότι είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο των πραγματικών. Αυτή η διευκρίνιση είναι απαραίτητη, γιατί όταν αναζητούμε συνάρτηση που εκφράζει πραγματικές καταστάσεις από άλλες επιστήμες, τότε το Πεδίο Ορισμού δε "βρίσκεται" από τον τύπο, αλλά από τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν τα μεγέθη που υπεισέρχονται.
Όσο για την αλλαγή από Πεδίο Ορισμού σε Σύνολο Ορισμού έχει να κάνει με το αν βλέπουμε τις συναρτήσεις μόνο στα καθαρά μαθηματικά ή και στα εφαρμοσμένα. Ο όρος Πεδίο Ορισμού δείχνει ακριβώς το Πεδίο (με τη φυσική έννοια) στο οποίο εφαρμόζεται η συνάρτηση, εξ ου και Domain στην αγγλική.

[Μάκης Χατζόπουλος]

Ευχαριστούμε πολύ κ. Αντώνη, όμορφα πράγματα σε ένα κεφάλαιο που αν δεν ξεκαθαριστούν πλήρως, δημιουργούνται παρεννοήσεις - παρεξηγήσεις

[S.E.Louridas]

Ας επιτραπεί και σε μένα να ευχαριστήσω τον Αντώνη για την συνεχή προσφορά του και να μείνω σε δύο βασικά και ουσιώδη κατά την άποψη μου μηνύματα :

1ο .Τις επιστημονικές μας ,τουλάχιστον γνώσεις τις έχουμε για να τις μεταλαμπαδεύουμε .Σε αντίθετη περίπτωση υπάρχει πρόβλημα προσωπικότητας.

2ο .Πρέπει να έχουμε το ηθικό-επιστημονικό ανάστημα να τις εκθέτουμε επώνυμα έστω και αν νομίζουμε πως θα υπάρξει ‘κόστος’. Στην περίπτωση των διδασκόντων
είναι προτιμότερο το πιθανό ‘κόστος’ να είναι προσωπικό παρά προς την κατεύθυνση των παιδιών. Κρυψίνοια +διδασκαλία=άτοπο.

Σωτήρης Ε.Λουρίδας

[Μπάμπης Στεργίου]

Αντώνη, καλημέρα !

Έτσι εξηγείται γιατί σε ...χάσαμε τόσες μέρες !
Ετοίμαζες αυτό το εξαιρετικό άρθρο ! Άντε να δω τώρα πόσο χρόνο θα σου πάρει να ετοιμάσεις και τις υποδείξεις !
Μας βλέπω στο συνέδριο της Θεσσαλονίκης να .....λύνουμε ασκήσεις στις συναρτήσεις !

Λοιπόν, η εργασία αυτή είναι μοναδική και θα αποτελέσει για χρόνια το σημείο αναφοράς στο σχετικό θέμα.
Σε ευχαριστούμε και σου ευχόμαστε να νάσαι πάντα καλά και δημιουργικός.

Μπάμπης

[Α.Κυριακόπουλος]

Για την πληρέστερη κατανόηση του άρθρου « ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ» και για να μη δημιουργούνται εσφαλμένες εντυπώσεις, διευκρινίζω τα εξής :
1. Ένα μονοσύνολο είναι ένα διάστημα:
.
Επίσης :

Ακόμα και το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας, της Α΄ τάξης του Λυκείου ,που ορίζει τα διαστήματα με άκρα δύο πραγματικούς αριθμούς α και β (§ 1.5, σελίδα 35), πουθενά δεν λέει ότι πρέπει να ισχύει α<β. Θα ήταν παράλογο να υποθέσουμε ότι το υπονοεί, γιατί: « Στα μαθηματικά δεν εννοούμε τίποτα περισσότερο ή λιγότερο από αυτά που γράφουμε».
• Παρόλα αυτά, αν κάποιος έχει ορίσει τα διαστήματα μόνο στην περίπτωση που α<β, τότε μπορεί να πει: « Όταν λέμε ότι θα βρούμε το σύνολο ορισμού μιας συνάρτησης που ορίζεται από ένα δοσμένο τύπο f(x) , εννοούμε ότι θα βάλουμε το σύνολο υπό μορφή διαστήματος ή μονοσυνόλου ή ενώσεων διαστημάτων (ή) και μονοσυνόλων του R.
2. Το σύνολο:είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R, στο οποίο η έκφραση f(x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
3. Όταν δίνουμε μια άσκηση στην οποία ζητάμε το σύνολο ορισμού μιας συνάρτησης, που ορίζεται από έναν τύπο, υποτίθεται ότι έχουμε ελέγξει ότι το σύνολο μπορεί να τεθεί υπό τη μορφή που περιγράφουμε παραπάνω. Δηλαδή, έχουμε ελέγξει ότι η άσκηση λύνεται. Με άλλα λόγια, αν περιοριστούμε στα σχολικά μαθηματικά, έχουμε ελέγξει ότι όλες οι εξισώσεις ή οι ανισώσεις που θα εμφανισθούν μπορούν να λυθούν με τη θεωρία που πρέπει να γνωρίζουν οι μαθητές.
Επίσης, για να ζητήσουμε να αποδειχθεί ότι το σύνολο Α δεν τίθεται υπό τη μορφή που περιγράφουμε παραπάνω, αυτό θα πρέπει να επιτυγχάνεται με την ύλη την οποία πρέπει να γνωρίζουν αυτοί στους οποίους απευθυνόμαστε. Φυσικά, θα πρέπει προηγουμένως να έχουμε λύση εμείς την άσκηση.
Υπάρχουν περιπτώσεις, που δεν χρειάζεται να βάλουμε το σύνολο Α υπό τη μορφή που περιγράφουμε παραπάνω και βεβαίως δεν θα πρέπει να το ζητάμε. Για παράδειγμα όταν ζητάμε το όριο μιας συνάρτησης(βλέπε, Φάκελος του καθηγητή, ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,§3.4, σελίδα 12).
4. Πριν εισαχθούν τα σύνολα στα μαθηματικά, το σύνολο ορισμού μιας συνάρτησης το έλεγαν «πεδίο ορισμού». Δυστυχώς, πολλά βιβλία, μηδέ εξαιρουμένου και του σχολικού, εξακολουθούν να το λένε «πεδίο», αν και πρόκειται περί ενός συνόλου. Μετά την εισαγωγή των συνόλων στα μαθηματικά, κανένας λόγος δεν υπάρχει να δίνουμε στο σύνολο αυτό και δεύτερο όνομα, γιατί προκαλεί σύγχυση και πολλοί μαθητές νομίζουν ότι δεν πρόκειται περί συνόλου. Θυμάμαι που με ρωτούσαν οι μαθητές: « Γιατί το λέμε πεδίο, αφού είναι ένα σύνολο». Κάνοντας χιούμορ τους έλεγα :«Είναι το παρατσούκλι του!!! Του έχει μείνει από παλιά». Τα ίδια ακριβώς έχω να πω για το «σύνολο τιμών» που το λένε ( με το παρατσούκλι του) « πεδίο τιμών».

[k-ser]

Πολλές φορές,
η λάμψη των μαθηματικών που φτάνει σε μας και αντανακλάται στους μαθητές μας,
είναι από αστέρια,
σαν του Αντώνη Κυριακόπουλου.

[Βασίλης Καλαμάτας]

Ευχαριστούμε πολύ.....
Να είστε καλά και να συνεχίσετε, περιμένουμε το επόμενο κύριε Αντώνη....

[exdx]

Ευχαριστούμε πολύ
Να είστε πάντα καλά

Καλαθάκης Γιώργης

[alkinoos]

Κύριε Κυριακόπουλε. Θέλω να σας ευχαριστήσω για τη βοήθεια που μου προσφέρατε με το άρθρο σας: «ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ». Παραθέτετε όλες τις έννοιες, όχι μόνο αυστηρά, αλλά απλά και κατανοητά. Δύο σημεία μου έκαναν ιδιαίτερη εντύπωση.
● Το πρώτο σημείο είναι στην §9 που αναπτύσσετε το θέμα: «Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης». Δεν έχω δει σε κανένα βιβλίο τέτοια ξεκάθαρη διαπραγμάτευση. Αντίθετα σε πολλά βιβλία ( παλαιά και νέα) και όχι μόνο, βλέπουμε, για παράδειγμα, να φθάνουν σε μία σχέση της μορφής: (για όλα τα x από κάποιο σύνολο Α) και να λένε: «Άρα, η μέγιστη τιμή της f είναι το κ!!!». Το παράδειγμα με το ημίτονο είναι πολύ πετυχημένο.
● Το άλλο σημείο είναι στην §14 που αναπτύσσετε το θέμα: «Μελέτη για την αντίστροφη συνάρτηση». Η μέθοδος που προτείνετε εκεί είναι πολύ ωραία και απλοποιεί όσο γίνεται περισσότερο τα πράγματα.
Οι ασκήσεις μου άρεσαν πολύ. Νομίζω όμως ότι μερικές είναι πολύ δύσκολες.
* Σκέπτεστε κάτι ανάλογο και για τα άλλα κεφάλαια;
Και πάλι σας ευχαριστώ.
Με συναδελφικούς χαιρετισμούς.

alkinoos

[hsiodos]

Καλό μεσημέρι σε όλους

Θέλω να ευχαριστήσω με την σειρά μου τον Αντώνη Κυριακόπουλο για το κείμενο που μας "δώρισε". Θίγει πολλά λεπτά σημεία στα οποία καμιά φορά κάνουμε και εμείς λάθη και άλλα για τα οποία έχει γίνει αρκετή συζήτηση.Νομίζω ότι είναι πολύτιμο βοήθημα για εμάς και τους μαθητές μας.
Με την ευκαιρία που αυτό το διάστημα ολοκληρώνεται η διδασκαλία των μιγαδικών θέλω να ξεχωρίσω το σημείο που αναφέρεται στην ύπαρξη ελάχιστης και μέγιστης τιμής. Υπάρχουν συνάδελφοι - αλλά το βλέπουμε και σε βοηθήματα παλιά και καινούργια- που από την σχέση συμπεραίνουν ότι τα a , b είναι αντίστοιχα η ελάχιστη και μέγιστη τιμή του χωρίς περαιτέρω διασαφηνίσεις με αποτέλεσμα να δημιουργούνται συγχύσεις στους μαθητές.

Και πάλι ένα μεγάλο ευχαριστώ στον Δάσκαλο και περιμένουμε ... την συνέχεια.

Γιώργος

[Μάκης Χατζόπουλος]

Υπάρχουν συνάδελφοι - αλλά το βλέπουμε και σε βοηθήματα παλιά και καινούργια- που από την σχέση συμπεραίνουν ότι τα a , b είναι αντίστοιχα η ελάχιστη και μέγιστη τιμή του χωρίς περαιτέρω διασαφηνίσεις με αποτέλεσμα να δημιουργούνται συγχύσεις στους μαθητές.

Γιώργο έχεις δίκιο που το τονίζεις, νομίζω σε κάποιο θέμα πρέπει να το έχουμε θίξει κιόλας, πρέπει να βρίσκουμε τιμές για το z (για να το κλείσουμε το θέμα) που να δίνει α ή β, αλλιώς είναι φράγματα τα α, β (νομίζω ότι ο κ. Μαυρογιάννης είχε αναφέρει το παράδειγμα που κάνει στους μαθητές του με το ημίτονο ή συνημίτονο που είναι <2 ή <3 κτλ)

[lonis]

Μια και το έφερε η κουβέντα, ανεβάζω στο συνημμένο την τελική μορφή μιας εργασίας για τη σύγχυση ανάμεσα στα ακρότατα και τα φράγματα στα μέτρα μιγαδικών. Δημοσιεύτηκε στο τεύχος 4 του "φ" (Νοέμβριος 2007) και το τεύχος 5 του "Απολλώνιου" (Οκτώβριος 2007). Τον τελευταίο χρόνο το παρουσιάσαμε "οπτικοποιημένο" στο παράρτημα της ΕΜΕ Κοζάνης, στο 3ο μαθηματικό σχολείο Νάουσας και ακολουθεί το παράρτημα ΕΜΕ Ημαθίας την Κυριακή 11 Οκτωβρίου. Η οπτικοποίηση οφείλεται στον Κώστα Δόρτσιο, σχολικό σύμβουλο μαθηματικών Δυτικής Μακεδονίας. Χρησιμοποιώντας Geogebra, εντοπίζονται τα ακρότατα των μέτρων, και αποφεύγονται οι παγίδες.

Είναι απόδειξη αυτή η "μέθοδος"; Όχι βέβαια! Αλλά εκτός του ότι αποτρέπει τα επιπόλαια λάθη, το λογισμικό δίνει ώθηση στη φαντασία. Συχνά σκέφτομαι πόσες διασκεδαστικές γεωμετρικές ασκήσεις, όπως αυτή η συλλογή με ισοσκελή τρίγωνα με γωνία 20 μοιρών που έχουμε εδώ, θα μπορούσαν να φτιαχτούν από έναν "ερευνητή" του Geogebra!

Εδώ viewtopic.php?f=51&t=510 , βρίσκεται μια διδακτική μορφή του άρθρου. Μπορεί ο καθηγητής να δώσει το κείμενο στους μαθητές και να τους ζητήσει να βρουν το λάθος που υπάρχει σε κάθε "εντοπισμό" ακροτάτου. Ελπίζω να σας φανεί χρήσιμο.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

ΥΓ: Αντώνη, ευχαριστούμε πολύ για την προσφορά. Τους χαιρετισμούς μου.
Θα λείπω μέχρι αύριο Θεσσαλονίκη. Ελπίζω να τα πούμε εκεί στο συνέδριο.

[k-ser]

Στο παρακάτω αρχείο, με την βοήθεια του Αντώνη Κυριακόπουλο, έχω γράψει Απαντήσεις, Υποδείξεις και Λύσεις των ασκήσεων που περιείχε η πολύ χρήσιμη εργασία του Αντώνη πάνω στις Βασικές έννοιες των συναρτήσεων.
Πολλες από τις ασκήσεις είναι καταπληκτικές και αξίζει τον κόπο να τις δείτε.
Το αρχείο ελπίζω να είναι μια μικρή βοήθεια για κάποιον που δεν είχε ή δεν έχει το χρόνο να τις λύσει.

H εργασία έχει αναρτηθεί ως ενιαίο κείμενο μαζί με τις απαντήσεις:
download/file.php?id=3424