mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 24, 2012 12:18 am**

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

και

τυχαίο εσωτερικό σημείου αυτού. Αν p,q,r

είναι οι αποστάσεις του

από τις πλευρές BC,CA,AB

αντίστοιχα και MA=x, MB=y, MC=z

να δείξετε ότι:

$(x+y+z)\left(\dfrac{x}{qr}+\dfrac{y}{rp}+\dfrac{z}{pq}\right)\geq 36$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 24, 2012 12:51 am**

Γ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε:Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και τυχαίο εσωτερικό σημείου αυτού. Αν είναι οι αποστάσεις του από τις πλευρές αντίστοιχα και να δείξετε ότι:

$(x+y+z)\left(\dfrac{x}{qr}+\dfrac{y}{rp}+\dfrac{z}{pq}\right)\geq 36$

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz και την ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{(x+y+z)\left(\dfrac{x}{qr}+\dfrac{y}{rp}+\dfrac{z}{pq}\right)\geq \Big(\frac{x}{\sqrt{qr}}+\frac{y}{\sqrt{rp}}+\frac{z}{\sqrt{pq}}\Big)^2\geq 4\Big(\frac{x}{q+r}+\frac{y}{r+p}+\frac{z}{p+q}\Big)^2}$ .

Απομένει να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{\frac{x}{q+r}+\frac{y}{r+p}+\frac{z}{p+q}\geq 3}}$

Αυτή, όμως, είναι άμεση συνέπεια των

$\displaystyle{\frac{x}{q+r}\geq \frac{1}{2\sin \frac{A}{2}},~ \frac{y}{r+p}\geq \frac{1}{2\sin \frac{B}{2}},~ \frac{z}{p+q}\geq \frac{1}{2\sin \frac{C}{2}}}$ ( $\displaystyle{\color{blue}\bigstar}$ )

και της πολύ γνωστής

$\displaystyle{\frac{1}{\sin \frac{A}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}}\geq 6.}$

Μια απόδειξη των ( $\displaystyle{\color{blue}\bigstar}$ ) μπορεί να δει κανείς στο παρακάτω αρχείο, το οποίο, αν θυμάμαι καλά, το έχω ξαναφορτώσει.

mathematica.gr

Γεωμετρική ανισότητα

Γεωμετρική ανισότητα

Re: Γεωμετρική ανισότητα