mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 24, 2012 7:38 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ yf(x+f(y))+xf(y+f(x))=x^{2}+(2x+y)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 25, 2012 12:33 am**

$\displaystyle{y=0}$ . Τότε: $\displaystyle{xf(f(x))=x^2 +2xf(0)}$ . Και με $\displaystyle{x\neq 0\Rightarrow f(f(x))=x+2f(0)}$

$\displaystyle{x=0}$ . Tότε: $\displaystyle{yf(f(y))=yf(y)}$ . Και με $\displaystyle{y\neq 0\Rightarrow f(f(y))=f(y)\Rightarrow f(f(x))=f(x)}$ .

Άρα συμπεραίνουμε ότι: $\displaystyle{f(x)=x+2f(0)}$ , για κάθε $\displaystyle{x\neq 0}$

Αντικαθιστώ τον τύπο που βρήκα στην αρική εξίσωση :

$\displaystyle{y(x+f(y)+2f(0))+x(y+f(x)+2f(0))=x^2 +(2x+y)(y+2f(0))\Rightarrow}$

$\displaystyle{y(x+y+4f(0))+x(y+x+4f(0))=x^2 +2xy+4xf(0)+y^2 +2yf(0)\Rightarrow}$

$\displaystyle{f(0)=0}$ . Επομένως 'εχουμε $\displaystyle{f(x)=x+2f(0)\Rightarrow f(x)=x}$ , για κάθε $\displaystyle{x\neq 0}$ . Και αφού είναι και $\displaystyle{f(0)=0}$ , άρα πρέπει:

$\displaystyle{f(x)=x}$ , για κάθε $\displaystyle{xER}$ , που επαληθεύει και την αρχική.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 25, 2012 2:05 am**

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=456832

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 08, 2014 9:00 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ yf(x+f(y))+xf(y+f(x))=x^{2}+(2x+y)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για