mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 05, 2012 11:28 am**

Διαιρέστε δοθέν κυρτό τετράπλευρο σε τρία ισοδύναμα (ίσων εμβαδών) μέρη με ευθείες που να διέρχονται από δοθέν σημείο μίας πλευράς του.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 09, 2012 10:27 pm**

Έστω

το σημείο επί της πλευράς

του δοσμένου τετραπλέυρου ABCD,

από το οποίο θα φέρουμε δύο ευθείες με την ζητούμενη ιδιότητα της εκφώνησης.

Από τα σημεία $B,\ C,$ φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις $PA,\ PD,$ οι οποίες τέμνουν την ευθεία AD,

στα σημεία έστω $E,\ Z,$ αντιστοίχως.

Ορίζουμε τα σημεία $K,\ L,$ επί της

και ας είναι το

μεταξύ των $A,\ L,$ έτσι ώστε να είναι $EK = KL = LZ\ \ \ ,(1)$ και αποδεικνύεται εύκολα ότι οι ευθείες $PK,\ PL$ είναι οι ζητούμενες.

Πράγματι, λόγω της (1)

ισχύει $(EPK) = (KPL) = (LPZ)\ \ \ ,(2)$ αφού τα τρίγωνα $\vartriangle EPK,\ \vartriangle KPL,\ \vartriangle LPZ$ έχουν κοινό ύψος.

Από (2)

$\Longrightarrow$ $(EPA) + (APK) = (KPL) = (LPD) + (DPZ)\ \ \ ,(3)$

Αλλά $(EPA) = (BPA)\ \ \ ,(4)$ λόγω $BE\parallel PA$ και $(DPZ) = (CPZ)\ \ \ ,(5)$ λόγω $CZ\parallel PD.$

Από $(3),\ (4),\ (5)$ $\Longrightarrow$ (ABPK) = (KPL) = (LPCZ)

και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 10, 2012 1:12 am**

Ανεβάζω το σχήμα

: loyridas1.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

mathematica.gr

Διαιρέστε δοθέν...

Διαιρέστε δοθέν...

Re: Διαιρέστε δοθέν...

Re: Διαιρέστε δοθέν...