mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 15, 2012 7:03 pm**

(α) Να δειχθεί ότι για κάθε $m \in \mathbb{N}$ υπάρχει πραγματικός $m \times m$ πίνακες

ώστε

.

(β) Να δειχθεί ότι $\det(A) > 0$ για κάθε πραγματικό $m \times m$ πίνακα

με

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 15, 2012 7:24 pm**

(α) π.χ. $A=i\Bbb{I}_m$ όπου

ρίζα (πραγματική) της i^3=i+1.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 15, 2012 7:33 pm**

(β) Είναι $\displaystyle{|A|^2|A+\Bbb{I}|=|A^2(A+\Bbb{I})|=|A^3+A^2|=|A^2+A+\Bbb{I}|=|\det (A+\omega \Bbb{I})|^2\geq 0 \implies |A+\Bbb{I}|\geq 0.}$

Συνεπώς, $|A|^3=|A^3|=|A+1|\geq 0\implies |A|\geq 0$

H ισότητα όμως δεν είναι δυνατή, διότι διαφορετικά ο

δε θα ήταν αντιστρέψιμος, άτοπο αφού , από τη δοθείσα, $A^{-1}=A^2-\Bbb{I}.$

mathematica.gr

IMC 1999/1/1

IMC 1999/1/1

Re: IMC 1999/1/1

Re: IMC 1999/1/1