mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 08, 2012 8:47 pm**

1. Έστω παρ/μο ABGD

και

σημείο της

ωστε $\vec{AE}=\frac{1}{5}\vec{AB}$ και

σημείο της διαγωνίου

ώστε $\vec{AZ}=k\vec{AG}$
Να βρεθεί το

ώστε

συνευθειακά.

2.Αν $\left|\vec{a}\right|\leq 4$ και $\left|\vec{b}\right|\leq 2$ και $\left|a+b \right|\geq 2$ να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 08, 2012 8:53 pm**

pavlospallas έγραψε: 2.Αν $\left|\vec{a}\right|\leq 4$ και $\left|\vec{b}\right|\leq 2$ και $\left|a+b \right|\geq 6$ να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων.

Είναι άμεσο:

Από την

$\displaystyle{\boxed{|\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a}|+|\vec{b}|}}$

έχουμε

$\displaystyle{6\leq |\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a}|+|\vec{b}|\leq 4+2=6,}$

άρα ισχύει παντού η ισότητα και επομένως

$\displaystyle{|\vec{a}|=4,~|\vec{b}|=2.}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 08, 2012 9:14 pm**

pavlospallas έγραψε:1. Έστω παρ/μο ΑΒΓΔ και Ε σημείο της ΑΒ ωστε $\vec{AE}=\frac{1}{5}\vec{AB}$ και Ζ σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε $\vec{AZ}=k\vec{A\Gamma}$
Να βρεθεί το k ώστε Δ,Ε,Ζ συνευθειακά.

Με ευκλείδεια μέσα:

Έστω ότι βρήκαμε τέτοιο $\displaystyle{k.}$ Τότε, τα τρίγωνα $\displaystyle{AZE,~DZC}$ είναι όμοια, οπότε

$\displaystyle{\frac{AZ}{ZC}=\frac{AE}{DC}=\frac{1}{5}\implies ZC=5AZ}$

άρα

$\displaystyle{AZ=\frac{1}{6}AC\implies k=\frac{1}{6}.}$

Το αντίστροφο είναι άμεσο με εφαρμογή του θεωρήματος του Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{ABO}$ ( $\displaystyle{O}$ το κέντρο του παραλληλογράμμου) με διατέμνουσα την $\displaystyle{EZD.}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 08, 2012 9:18 pm**

Κ. Μάγκο πολύ όμορφη και απλή λύση!
Για το δεύτερο ερώτημα (μετά τη διόρθωση) τί θα λέγατε;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 08, 2012 9:27 pm**

pavlospallas έγραψε: Για το δεύτερο ερώτημα (μετά τη διόρθωση) τί θα λέγατε;

pavlospallas έγραψε: 2.Αν $\left|\vec{a}\right|\leq 4$ και $\left|\vec{b}\right|\leq 2$ και $\left|a+b \right|\geq 2$ να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων.

Βλέπω ότι δεν υπάρχει μοναδική λύση.

Π.χ. ας πάρω $\displaystyle{\vec{b}=\vec{0}}$ και $\displaystyle{\vec{a}}$ τυχαίο διάνυσμα με $\displaystyle{|\vec{a}|\in [2,4].}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 08, 2012 11:07 pm**

Για το α' ερώτημα θα πρότεινα σαν λύση την κάτωθι ...

Αν θέσουμε $\vec {AB}= \vec a, \vec {AD}=\vec b$ , τότε αφου τα σημεία D,Z,E

είναι συνευθειακά θα έχουμε

$\vec {DZ}=m \vec {ZE}\Rightarrow \vec {AZ}-\vec {AD}=m(\vec {AE}-\vec {AZ})\Rightarrow k\vec {AG}-\vec b=m(1/5\vec a-k \vec {AG})$

$k(\vec a+\vec b)-\vec b=1/5m\vec a-km(\vec a+\vec b)\Rightarrow k\vec a+k\vec b-\vec b=m/5\vec a-km\vec a-km\vec b\Rightarrow$

k=m/5-km

και

γιατι τα διανύσματα $\vec a,\vec b$ δεν είναι παράλληλα αρα $n_1\vec a=n_2\vec b\Rightarrow n_1=n_2$

απο το σύστημα βρίσκω k=1/6

θα ήθελα να τονίσω οτι οι σχέσεις που ισχύουν στην Ευκλέιδια γεωμετρία ,πρέπει να αποδεικνύονται στον διανυσματικο λογισμο. , Ακόμη και στην πιο απλή για το ευθ.τμημα που

συνδέει τα μέσα δυο πλευρών τριγώνου ,οτι είναι παράλληλο στην 3η πλευρά και ίση με το μισό της. ,πρέπει να αποδεικνύεται . Αυτό φυσικά δεν μειώνει την αξία της πολυ ωραίας

απόδειξης του Θάνου.

dennys

mathematica.gr

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ διορθωση!

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ διορθωση!

Re: 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Re: 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Re: 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ διορθωση!

Re: 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ διορθωση!

Re: 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ διορθωση!