mathematica.gr

Μιας και τη χθεσινή ημέρα έγινε μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση με τον Πάνο,τον Αλέξανδρο και το Μιχάλη
και σημείο αναφοράς ήταν οι κινέζοι μαθηματικοί,δίνω ένα ιαπωνικής προέλευσης θεώρημα...
Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο,το άθροισμα των ακτινών των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων,στα οποία χωρίζει το τετράπλευρο μια διαγωνιός του,ισούται με το αντίστοιχο άθροισμα των ακτινών των εγγεγραμμένων
κύκλων των τριγώνων που χωρίζει η άλλη διαγώνιος του τετραπλεύρου...
Αρκετά...''κινέζικο''.Ή μάλλον ''γιαπωνέζικο''....

Θα δώσω μια σύντομη λύση
Θα χρησιμοποιήσω το Θεώρημα : Αν οι αποστάσεις του κέντρου Ο του περιγεγραμμένου κυκλου
σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ τότε +ρ εάν έχουμε αμβλυγώνιο τρίγωνο η απόσταση που αντιστοιχεί στην πλευρα που βρίσκεται απέναντι απο την αμβλεία εχει πρόσημο - ( Την απόδειξη την χρωστάω ...........)
Θεωρούμε το εγγράψιμμο ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου
Ε,Ζ,Η,Θ τα μέσα των ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ και Κ,Λ τα μέσα των ΑΓ,ΒΔ
Στο ΑΒΓ έχουμε ΟΕ+ΟΖ-ΟΚ=
Στο ΑΓΔ Έχουμε ΟΘ+ΟΗ+ΟΚ=
με πρόσθεση κατά μέλη ΟΕ+ΟΖ+ΟΗ+ΟΘ=
Κανωντας τα ίδια με τα τρίγωνα ΑΒΔ,ΒΓΔ έχουμε
ΟΕ+ΟΖ+ΟΗ+ΟΘ= κτλ........

Mπράβο Παναγιώτη...Η άσκηση είναι εξαιρετικά δύσκολη και σ'ευχαριστώ για την απόδειξη που δίνεις!Θα την
κοιτάξω με ενδιαφέρον...

Καλημερα Χρηστο.

Μπορει να αποδειχθει με επαγωγη οτι το εγγεγραμμενο σχημα δε χρειαζεται να ειναι τετραπλευρο. Συγκεκριμενα, για εγγεγραμμενο πολυγωνο ΑΒΓ...Χ το αθροισμα των ακτινων των εγγεγραμμενων κυκλων στα 'υποτριγωνα' ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΕ, ... ειναι σταθερο οποιαδηποτε κορυφη και αν παρουμε ως 'αφετηρια' αντι για το Α.

Καλα να περνας,

Δημητρης

Δημήτρη τη θεωρώ εξαιρετικά δύσκολή και...μπελαλίδικη άσκηση.Σ'ευχαριστώ για τη συνδρομή σου.Σας χαιρετώ πρός το παρόν.Τα λέμε το βραδάκι...

Δύο αποδείξεις του θεωρήματος

Το βράδυ με είχε πάρει ο υπνος με τον υπολογιστή ανοικτό.Ξυπνώντας το πρωί,είδα αυτήν την εκπληκτική απόδειξη
μπροστά μου...Θεώρημα του carnot;;;AAA,έχω διάβασμα!
Κώστα σε ευχαριστώ θερμότατα!

άλλες 6 αποδείξεις (με το ενδεχόμενο της επανάληψης) βρίσκονται στα παρακάτω αρχεία:

Japanese Theorem: A Little Known Theorem With Many Proofs - Part I by Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, and Kayo Matsushita
Japanese Theorem: A Little Known Theorem With Many Proofs - Part II by Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, and Kayo Matsushita

από το περιοδικό Missouri Journal of Mathematical Sciences Articles (τεύχη 2004) που διατίθεται σε ποικιλία μορφών ελεύθερα εδώ


Στο το ξαναείδαμε κι εδώ