mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 18, 2012 3:01 pm**

Αναδιπλώνουμε ορθογώνιο εμβαδού

έτσι ώστε να συμπέσουν δύο απέναντι κορυφές και να σχηματιστεί 'συμμετρικό' πεντάγωνο εμβαδού

: σε ποιό διάστημα βρίσκεται ο λόγος $\displaystyle\frac{E}{E'}\ ;$

[Εμπνευσμένο από αυτό, δείτε και εδώ

]

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2012 4:34 pm**

Επαναφορά ... με σχήμα

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2012 10:14 pm**

Έστω

οι διαστάσεις του ορθογωνίου με $a\geq b$ , οπότε E=ab

. Επίσης είναι :

$\displaystyle E'=2(OBS)+(BST)=bx+b\frac{a-x}{2}=b\frac{a+x}{2}$ , συνεπώς : $\displaystyle \frac{E}{E'}=\frac{ab}{b\frac{a+x}{2}}=\frac{2a}{a+x}$ .

Λίγη καρτεσιανή γεωμετρία ρουτίνας δίνει ότι $\displaystyle x=\frac{a^2-b^2}{2a}$ , οπότε : $\displaystyle \frac{E}{E'}=\frac{4a^2}{3a^2-b^2}$ .

Για a=b

παίρνω $\displaystyle \frac{E}{E'}=2$ και αυξάνοντας το

(κρατώντας σταθερό το

)

ο παραπάνω λόγος τείνει προφανώς προς το $\displaystyle \frac{4}{3}$ , δηλαδή τελικά : $\displaystyle \frac{E}{E'}\in(\frac{4}{3} , 2]$ .

: Πεντάγωνο.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 23, 2012 10:23 pm**

Ας ονομάσουμε

το πλάτος και

το μήκος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν b=a + x

, με $x \geq 0$ .
Έστω

το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και Π το εμβαδόν του διπλωμένου σχήματος. Επειδή η αναδίπλωση γίνεται στις δύο απέναντι γωνίες με κάθετη στη διαγώνιο το εμβαδόν του ορθογωνίου μπορεί να χωριστεί στα εμβαδά

των τριγώνων που "περισσεύουν" μετά την αναδίπλωση και ενός παραλληλογράμμου

το οποίο έχει ύψος μήκους

και βάση μήκους b-y = a + x - y

.

Για

το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο και ο λόγος των εμβαδών είναι : $\frac{O}{\Pi} = 2$
Για y>0

έχουμε $\frac{O}{\Pi} = \frac{2T + P}{2T + \frac{P}{2} }= \frac{ay + (a+x-y)a}{ay + (a+x-y) / 2} =1+ \frac{y+a+x-y}{2y + a +x -y}=\newline 2 \frac{a+x}{a+x+y} = 2 \frac{b}{b+y}$
Οπότε για y=0

έχουμε την μέγιστη τιμή που είναι το 2, ενώ για τη μέγιστη τιμή του

η οποία λαμβάνεται όταν το $a \rightarrow 0$ και είναι $y<\frac{b}{2}$ η τιμή τείνει στο $2 \frac{b}{b + \frac{b}{2}}= \frac{4}{3}$ .
Άρα ο λόγος είναι μεγαλύτερος του 4/3 και μικρότερος ή ίσος του 2.

: asdf.png (8.03 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Διόθρωση μετά από επισήμανση και λάθος στις πράξεις, Προσθήκη σχήματος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 25, 2012 10:51 am**

Δανειζόμενος το σχήμα του Σωτήρη:
Το εμβαδόν

είναι μικρότερο από το ένα τέταρτο του ορθογωνίου, καθώς η μία πλευρά του είναι η μικρή πλευρά του ορθογωνίου και η δεύτερη κάθετη πλευρά είναι μικρότερη του μισού μήκους του ορθογωνίου. Το πεντάγωνο αποτελείται από ένα τραπέζιο με εμβαδόν ίσο με το μισό του ορθογωνίου, (καθώς η ευθεία περνά από το κέντρο συμμετρίας του ορθογωνίου) και από ένα ορθογώνιο τρίγωνο εμβαού

. Επομένως, $\frac{1}{2}\leq \frac{E'}{E}< \frac{3}{4}$ .
Το θέμα έχει τεθεί σε προκριματικό διαγωνισμό της ΕΜΕ γύρω στο 1996. Θα το βρώ και θα αναρτήσω και τα υπόλοιπα θέματα.

Την καλημέρα μου σε ολους!

mathematica.gr

Αναδίπλωση ορθογωνίου σε πεντάγωνο

Αναδίπλωση ορθογωνίου σε πεντάγωνο

Re: Αναδίπλωση ορθογωνίου σε πεντάγωνο

Re: Αναδίπλωση ορθογωνίου σε πεντάγωνο

Re: Αναδίπλωση ορθογωνίου σε πεντάγωνο

Re: Αναδίπλωση ορθογωνίου σε πεντάγωνο