mathematica.gr

Ένα ναυαγοσωστικό έχοντας πάρει , σπεύδει και παραλαμβάνει τους επιβάτες μιας θαλαμηγού και το πλήρωμά της .
Καθώς επιστρέφει στην βάση του , λαμβάνει νέο ,από ένα αλιευτικό που βρίσκεται μίλια μακριά του .Επειδή όμως το ναυαγοσωστικό δεν έχει χώρο για άλλους επιβάτες , πρέπει να προσεγγίσει πρώτα στην ξηρά να αφήσει αυτούς που έχει και να σπεύσει κατόπιν προς βοήθεια του αλιευτικού.
Ο καπετάνιος χαράσσει στον χάρτη του :
Την θέση του, την θέση του αλιευτικού καθώς και την συντομότερη πορεία προς την ξηρά και το αλιευτικό.
Η κατάσταση των διασωθέντων είναι τέτοια ώστε να μπορεί να τους αποβιβάσει οπουδήποτε στην ακτή.
Το ναυαγοσωστικό απέχει μίλια από την ακτή και ο καπετάνιος βρίσκει ότι η συντομότερη πορεία του, πρώτα προς ακτή και μετά προς αλιευτικό είναι συνολικά μίλια.
Πόσο απέχει το αλιευτικό από την ακτή ;

Πολύ ενδιαφέρον το πρόβλημα του Νίκου.
Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, βρίσκω πολλές διαφορετικές θέσεις για το αλιευτικό (που το απεικόνισα ως ιστιοπλοϊκό...).

Επειδή, το πρόβλημα αναφέρεται σε πραγματικά δεδομένα, νομίζω πώς πρέπει να έχει μοναδική λύση, αφού στον "πραγματικό κόσμο" δεν είναι δυνατό το αλιευτικό να βρίσκεται σε πολλά σημεία ταυτόχρονα!

Μήπως θα πρέπει να συμπληρωθεί με επιπλέον δεδομένα το ούτως ή άλλως ενδιαφέρον πρόβλημα;

Δείτε το συνημμένο αρχείο Geogebra. Μετακινώντας το σημείο αποβίβασης και το αλιευτικό , βρίσκω πολλούς διαφορετικούς συνδυασμούς που δίνουν διαδρομή μίλια (ναυτικά, φαντάζομαι...).

Γιώργο καλησπέρα. Πρώτα-πρώτα το σχεδιάγραμμα σου είναι το κάτι άλλο!
Η άσκηση δεν είναι από βιβλίο μαθηματικών αλλά ούτε και δικής μου κατασκευής . την βρήκα στις σημειώσεις μου και αν θυμάμαι καλά πρέπει να την κράτησα από κάποιο περιοδικό με σταυρόλεξα.
Πράγματι υπάρχει ασάφεια και ευχαριστώ που με το σχεδιάγραμμα σου το βλέπω γιατί δεν το είχα σκεφτεί έτσι. Η ακτή συμβατικά να θεωρηθεί ότι είναι σε ευθεία και όχι σε τόξο

Φιλικά Νίκος

Καλημέρα σε όλους.
Το πρόβλημα- γρίφος είναι πράγματι ελκυστικός. Βρήκα όμως μοναδική λύση ,αν βέβαια δεν μου διαφεύγει κάτι και με σχετικά εύκολη διαδρομή.
Στο σχήμα είναι το ναυαγοσωστικό , το αλιευτικό και η ευθεία είναι η ακτή.
Έστω το συμμετρικό του ως προς την και η τομή της με την.
Τότε η είναι η συντομότερη διαδρομή και το ζητούμενο. Φέρνουμε τις και .

Το ορθογώνιο έχει

ενώ το ορθογώνιο έχει συνεπώς .

Προφανώς είναι , άρα και τελικά προκύπτει

δηλαδή το αλιευτικό απέχει από την ακτή μίλια!

Συναδελφικά Γιώργος.

Καλημέρα.
Πράγματι το πρόβλημα το είδα κι εγώ όπως ο Γιώργος (Μήτσιος).

Μια μικρή διαφορά ως προς την συμμετρία. Αντί να πάρω συμμετρικό του

(αλιευτικού) ως προς την ακτή ας πάρουμε του (ναυαγοσωστικού) . Έστω λοιπόν

το συμμετρικό του ως προς την ευθεία της ακτής και η τομή του

με αυτή. Αν η βέλτιστη θέση αποβιβάσεως των ναυαγών τότε ως γνωστό

αυτή αντιστοιχεί στην τομή του με την , Έστω ακόμα η προβολή του

στην και το σημείο τομής των .Θέτω .

Επειδή τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν κοινή την γωνία θα

είναι όμοια και συνεπώς :

και άρα

Από την παραλληλία των έχουμε :

Δηλαδή το αλιευτικό απέχει από την ακτή μίλια.

Φιλικά Νίκος

Doloros έγραψε:... ο καπετάνιος βρίσκει ότι η συντομότερη πορεία του, πρώτα προς ακτή και μετά προς αλιευτικό είναι συνολικά μίλια.

Παραβλέποντας αυτό το κρίσιμο σημείο, οδηγήθηκα σε λανθασμένη εκτίμηση.

Πράγματι υπάρχουν πολλές διαδρομές μιλίων, αλλά μόνο δύο (συμμετρικές), για τις οποίες η διαδρομή αυτή είναι η ελάχιστη δυνατή. Και στις δύο, βέβαια, η απόσταση του αλιευτικού από την ακτή είναι μίλια.

Για εξιλέωση, δίνω συμπληρωμένο το αρχείο Geogebra με την ελάχιστη διαδρομή.

(Προφανώς, αποδεχόμαστε ότι η ακτογραμμή είναι ευθεία, αλλιώς δεν βλέπω να προλαβαίνει ο καπετάνιος το ναυάγιο, αφού θα παιδεύεται για ώρες να χαράξει τη βέλτιστη διαδρομή...).